Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

a. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^2$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.  

b.  Giải hệ phương trình:   $\{\begin{array}{cc}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y& \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2& \end{array}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: 

                                           $2x^2=mx-m+2<=>2x^2-mx+m-2=0$             (*)

Ta có : $\mathrm{\Delta }=m^2-4.2(m-2)=m^2-8m+16=(m-4{)}^2\ge 0$

Để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^2$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì :

<=>  $\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }>0& & \\ x_1+x_2>0& & \\ x_1.x_2>0& & \end{array}$

<=>  $\{\begin{array}{ccc}(m-4{)}^2>0& & \\ \frac{m}{2}>0& & \\ \frac{m-2}{2}>0& & \end{array}$

<=>  $\{\begin{array}{ccc}m\ne 4& & \\ m>0& & \\ m>2& & \end{array}$

<=>  $\{\begin{array}{cc}m>2& \\ m\ne 4& \end{array}$

Vậy để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^2$  tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì m > 2 và $m\ne 4$ .

b.      $\{\begin{array}{cc}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y(1)& \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2(2)& \end{array}$ .

Đk  :  $\{\begin{array}{cc}x+2y\ge 0& \\ 2y\ge 0& \end{array}$

Đặt   $\sqrt{x+2y}=t(t\ge 0)$

(1)  <=>  $3t=4-t^2<=>t^2+3t-4=0$  (*)

Nhận xét : phương trình (*) có dạng : a + b+ c = 0 =>  (*) có hai nghiệm : $t_1=1;t_2=-4$

+  Với t = - 4  =>  ( loại vì t < 0 )

+  Với t  = 1  <=>   $\sqrt{x+2y}=1<=>x+2y=1=>x=1-2y$

Thay giá trị ( x ) vào (2) , ta được :  $\sqrt[3]{2(1-2y)+6}+\sqrt{2y}=2<=>\sqrt[3]{-4y+8}+\sqrt{2y}=2$

<=>   $\sqrt[3]{-4y+8}=2-\sqrt{2y}<=>-4y+8=8-12\sqrt{2y}+12y-2y\sqrt{2y}$

<=>   $16-12\sqrt{2y}-2y\sqrt{2y}=0<=>8y-6\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=0$

<=>   $\sqrt{y}(-\sqrt{2}y+8\sqrt{y}-6\sqrt{2})=0<=>-\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{2})(\sqrt{2}\sqrt{y}-6)=0$

+  TH 1 : $\sqrt{y}=0=>y=0=>x=1$                                                                      ( t/mãn ) 

+  TH 2 : $\sqrt{y}=\sqrt{2}=>y=2=>x=-3$                                                             ( t/mãn )

+  TH 3 : $\sqrt{y}=\frac{6}{\sqrt{2}}=>y==\frac{36}{2}=18=>x=-35$                                     ( t/mãn )

Vậy hệ  phương trình có 3 cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( 1 ; 0 ) , ( - 3 ; 2 ) , ( - 35 ; 18 ) } .