Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
a. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$ tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y & \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2 & \end{matrix}\right.$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình:
$2x^{2}=mx-m+2<=> 2x^{2}-mx+m-2=0$ (*)
Ta có : $\Delta =m^{2}-4.2(m-2)=m^{2}-8m+16=(m-4)^{2}\geq 0$
Để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$ tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì :
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta > 0 & & \\ x_{1}+x_{2}>0 & & \\ x_{1}.x_{2}>0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}(m-4)^{2} > 0 & & \\ \frac{m}{2}>0 & & \\ \frac{m-2}{2}>0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 4 & & \\ m>0 & & \\ m>2 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m>2 & \\ m\neq 4& \end{matrix}\right.$
Vậy để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P) : $y=2x^{2}$ tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì m > 2 và $m\neq 4$ .
b. $\left\{\begin{matrix}3\sqrt{x+2y}=4-x-2y (1) & \\ \sqrt[3]{2x+6}+\sqrt{2y}=2 (2) & \end{matrix}\right.$ .
Đk : $\left\{\begin{matrix}x+2y\geq 0 & \\ 2y\geq 0 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\sqrt{x+2y}=t (t\geq 0)$
(1) <=> $3t=4-t^{2}<=> t^{2}+3t-4=0$ (*)
Nhận xét : phương trình (*) có dạng : a + b+ c = 0 => (*) có hai nghiệm : $t_{1}=1;t_{2}=-4$
+ Với t = - 4 => ( loại vì t < 0 )
+ Với t = 1 <=> $\sqrt{x+2y}=1<=> x+2y=1=> x=1-2y$
Thay giá trị ( x ) vào (2) , ta được : $\sqrt[3]{2(1-2y)+6}+\sqrt{2y}=2 <=>\sqrt[3]{-4y+8}+\sqrt{2y}=2 $
<=> $\sqrt[3]{-4y+8}=2-\sqrt{2y}<=> -4y+8=8-12\sqrt{2y}+12y-2y\sqrt{2y} $
<=> $16-12\sqrt{2y}-2y\sqrt{2y}=0<=>8y-6\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=0 $
<=> $\sqrt{y}(-\sqrt{2}y+8\sqrt{y}-6\sqrt{2})=0<=> -\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{2})(\sqrt{2}\sqrt{y}-6)=0$
+ TH 1 : $\sqrt{y}=0 => y=0=> x=1 $ ( t/mãn )
+ TH 2 : $\sqrt{y}= \sqrt{2}=> y=2=> x=- 3 $ ( t/mãn )
+ TH 3 : $\sqrt{y}= \frac{6}{\sqrt{2}}=> y==\frac{36}{2}=18 => x=-35 $ ( t/mãn )
Vậy hệ phương trình có 3 cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( 1 ; 0 ) , ( - 3 ; 2 ) , ( - 35 ; 18 ) } .