Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Tìm x, y nguyên sao cho $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$ . (*)
Đk : $x\geq 0;y\geq 0;\sqrt{x}\geq 0;\sqrt{y}\geq 0$
(*) <=> $\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\sqrt{2}$ . (**)
Kết hợp đk => $\sqrt{x}\leq 3\sqrt{2};\sqrt{y}\leq 3\sqrt{2}$ .
(**) => $\sqrt{x}=3\sqrt{2}-\sqrt{y}$ <=> $(\sqrt{x})^{2}=(3\sqrt{2}-\sqrt{y})^{2}$
<=> $6\sqrt{2y}=y-x+18$ <=> $\sqrt{2y}=\frac{y-x+18}{6}\in Q$
<=> $\sqrt{2y}=a\in Q$
<=> $2y=a^{2}\in Q$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}\in N ( 2y\in Z , a\geq 0) & \\ a\vdots 2 & \end{matrix}\right.$
Mà a = 2m => $2y=(2m)^{2}=4m^{2}=> y=2m^{2}=> \sqrt{y}=m\sqrt{2}$
Tương tự , ta có : $ \sqrt{x}=n\sqrt{2}$
Thay giá trị $ \sqrt{y};\sqrt{x}$ vào (**) , ta được : $n\sqrt{2}+m\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ <=> n + m = 3 .
+ TH 1 : $\left\{\begin{matrix}n=0 & \\ m=3 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ y=18 & \end{matrix}\right.$
+ TH 2 : $\left\{\begin{matrix}n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=8 & \end{matrix}\right.$
+ TH 3 : $\left\{\begin{matrix}n=2 & \\ m=1 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=8 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
+ TH 4 : $\left\{\begin{matrix}n=3& \\ m=0 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=18 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$
Vậy để $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$ thì tồn tại 4 cặp giá trị ( x ; y ) như trên .