Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Đề bài :

Tìm x, y nguyên sao cho $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{18}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{18}$ . (*)

Đk : $x \geq 0; y \geq 0; \sqrt{x} \geq 0; \sqrt{y} \geq 0$

(*) <=> $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \sqrt{2}$ . (**)

Kết hợp đk => $\sqrt{x} \leq 3 \sqrt{2}; \sqrt{y} \leq 3 \sqrt{2}$ .

(**) => $\sqrt{x} = 3 \sqrt{2} - \sqrt{y}$ <=> $(\sqrt{x})^{2} = (3 \sqrt{2} - \sqrt{y})^{2}$

<=> $6 \sqrt{2 y} = y - x + 18$ <=> $\sqrt{2 y} = \frac{y - x + 18}{6} \in Q$

<=> $\sqrt{2 y} = a \in Q$

<=> $2 y = a^{2} \in Q$

<=> ${\begin{matrix} a^{2} \in N (2 y \in Z, a \geq 0) \\ a ⋮ 2 \end{matrix}$

Mà a = 2m => $2 y = (2 m)^{2} = 4 m^{2} => y = 2 m^{2} => \sqrt{y} = m \sqrt{2}$

Tương tự , ta có : $\sqrt{x} = n \sqrt{2}$

Thay giá trị $\sqrt{y}; \sqrt{x}$ vào (**) , ta được : $n \sqrt{2} + m \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ <=> n + m = 3 .

+ TH 1 : ${\begin{matrix} n = 0 \\ m = 3 \end{matrix} <=> {\begin{matrix} x = 0 \\ y = 18 \end{matrix}$

+ TH 2 : ${\begin{matrix} n = 1 \\ m = 2 \end{matrix} <=> {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 8 \end{matrix}$

+ TH 3 : ${\begin{matrix} n = 2 \\ m = 1 \end{matrix} <=> {\begin{matrix} x = 8 \\ y = 2 \end{matrix}$

+ TH 4 : ${\begin{matrix} n = 3 \\ m = 0 \end{matrix} <=> {\begin{matrix} x = 18 \\ y = 0 \end{matrix}$

Vậy để $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{18}$ thì tồn tại 4 cặp giá trị ( x ; y ) như trên .