Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=45^{\circ}$ , các góc B và C đều nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tai D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE.
a. Chứng minh AE = BE.
b. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có: $\widehat{BEA}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)
<=> $\widehat{AEB}=90^{\circ}$ .
=> Tam giác AEB vuông ở E .
Theo bài ra : $\widehat{BAC}=45^{\circ}=>\widehat{BAE}=45^{\circ}$
=> Tam giác AEB vuông cân tại E => AE = BE (đpcm) .
b. Ta có : $\widehat{BDC}=90^{\circ}$ => $\widehat{ADH}=90^{\circ}$
Mặt khác : $\widehat{AEB}=90^{\circ}$ (câu a) <=> $\widehat{AEH}=90^{\circ}$
=> $\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^{\circ}$
Vậy Tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn. (đpcm)
Tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE là trung điểm AH <=> AK = AH.