Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kỳ trên BC.Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC .Xác định vị trí của điểm M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : Chu vi tam giác MDE = MD + ME + DE.(BM + CM ).$\sin 60^{\circ}$ +DE = BC.$\sin 60^{\circ}$ + DE
Mà ( BC.$\sin 60^{\circ}$ ) luôn không đổi
=> Chu vi tam giác MDE nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất .
Xét tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ( $\widehat{D}=\widehat{E}=90^{\circ}$ ) ,nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính AM,tâm I là trung điểm AM .
Gọi K là trung điểm DE => $\left\{\begin{matrix}IK\perp DE & \\ \widehat{D}=\widehat{E}=\frac{1}{2}\widehat{DIE} & \end{matrix}\right.$
Mà $\sin KIE=\frac{KE}{IE}=\frac{1}{2}\frac{DE}{R_{(I)}}=\frac{DE}{2R_{(I)}}=\frac{DE}{AM}$
=> $DE=AM.\sin BAC=AM.\sin 60^{\circ}$
Khi đó để DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> $M\equiv H$ ( H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , và tam giác ABC đều (gt) => HB = HC ).
Vậy khi M là trung điểm BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất.