Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kỳ trên BC.Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC .Xác định vị trí của điểm M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất .

Hướng dẫn giải chi tiết :

 

Ta có : Chu vi tam giác MDE = MD + ME + DE.(BM + CM ).$\sin {60}^{\circ }$ +DE = BC.$\sin {60}^{\circ }$ + DE 

Mà ( BC.$\sin {60}^{\circ }$ ) luôn không đổi

=>  Chu vi tam giác MDE nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất .

Xét tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ( $\hat{D}=\hat{E}={90}^{\circ }$ ) ,nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính AM,tâm I là trung điểm AM .

Gọi K là trung điểm DE   =>   $\{\begin{array}{cc}IK\perp DE& \\ \hat{D}=\hat{E}=\frac{1}{2}\widehat{DIE}& \end{array}$

Mà $\sin KIE=\frac{KE}{IE}=\frac{1}{2}\frac{DE}{R_{(I)}}=\frac{DE}{2R_{(I)}}=\frac{DE}{AM}$

=>   $DE=AM.\sin BAC=AM.\sin {60}^{\circ }$

Khi đó để DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất  <=> $M\equiv H$ ( H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , và tam giác ABC đều (gt) => HB = HC ).

Vậy khi M là trung điểm BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất.