Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
a) Cho hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ x+2y=3m+2& \end{matrix}\right.$
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn $3x^{2}+y^{2}=2$ .
b) Tìm m để phương trình $x^{2}-2x-2m+1=0$ có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ x+2y=3m+2& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 (1)& \\ 3x+6y=9m+6 (2)& \end{matrix}\right.$
Lấy (2) - (1) ta được : $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ 7y=7m+7& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ y=m+1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=m & \\ y=m+1 & \end{matrix}\right.$
Để hệ phương trình có nghiệm (x;y) nằm trong góc phần tư thứ II thì $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ y>0 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m<0 & \\ m+1>0 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}m<0 & \\ m>-1 & \end{matrix}\right.$
<=> $-1<m<0$ .
Sau đó thay (x;y) = (m; m+1) vào hệ thức $3x^{2}+y^{2}=2$ ta được :
$m_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ ( loại )
$m_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ ( thỏa mãn )
Vậy với $m_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn .
b. $x^{2}-2x-2m+1=0$
Ta có : $\Delta {}'=2m$
=> Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta {}'\geq 0<=>2m\geq 0<=> m\geq 0$
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2 (1) & \\ x_{1}x_{2} =1-2m (2)& \end{matrix}\right.$
Theo bài ra ta có: $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .
<=> $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8=0$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8=0$ (*)
Thay (1) , (2) vào (*) ta được : $-8m^{2}+12m+8=0$
<=> $2m^{2}-3m-2=0$ (**)
Giải (**) ta được : $m_{1}=\frac{-1}{2}$ ( loại ) ; $m_{2}=2$ ( thỏa mãn ) .
Vậy m = 2 phương trình $x^{2}-2x-2m+1=0$ có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .