Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

a)  Cho hệ phương trình :  $\{\begin{array}{cc}3x-y=2m-1& \\ x+2y=3m+2& \end{array}$

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn $3x^2+y^2=2$ .

b) Tìm m để phương trình $x^2-2x-2m+1=0$ có  hai nghiệm x_{1 ;}  x₂ thỏa mãn điều kiện  $x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   $\{\begin{array}{cc}3x-y=2m-1& \\ x+2y=3m+2& \end{array}$

<=>  $\{\begin{array}{cc}3x-y=2m-1(1)& \\ 3x+6y=9m+6(2)& \end{array}$

Lấy (2) - (1) ta được  : $\{\begin{array}{cc}3x-y=2m-1& \\ 7y=7m+7& \end{array}$

                  <=>   $\{\begin{array}{cc}3x-y=2m-1& \\ y=m+1& \end{array}$

                  <=>   $\{\begin{array}{cc}x=m& \\ y=m+1& \end{array}$

Để hệ phương trình có nghiệm (x;y) nằm trong góc phần tư thứ II thì $\{\begin{array}{cc}x<0& \\ y>0& \end{array}$

<=>  $\{\begin{array}{cc}m<0& \\ m+1>0& \end{array}$  <=>  $\{\begin{array}{cc}m<0& \\ m>-1& \end{array}$

<=>  $-1<m<0$ .

Sau đó thay (x;y) = (m; m+1) vào hệ thức $3x^2+y^2=2$  ta được :

                 $m_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$  ( loại )

                 $m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$     ( thỏa mãn )

Vậy với   $m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$  thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn .

b.  $x^2-2x-2m+1=0$ 

Ta có : $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=2m$

=>   Để phương trình có hai nghiệm thì $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }\ge 0<=>2m\ge 0<=>m\ge 0$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2=2(1)& \\ x_1{x}_2=1-2m(2)& \end{array}$

 

Theo bài ra ta có:  $x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$ .

<=>  $x_1^2+x_2^2-2x_1^2{x}_2^2+8=0$

<=>   $(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-2x_1^2{x}_2^2+8=0$   (*)

Thay (1) , (2) vào (*) ta được : $-8m^2+12m+8=0$

<=>   $2m^2-3m-2=0$  (**)

Giải (**) ta được :   $m_1=\frac{-1}{2}$  ( loại )  ; $m_2=2$  ( thỏa mãn ) .

Vậy m = 2 phương trình  $x^2-2x-2m+1=0$  có hai nghiệm x_{1 ;} x₂ thỏa mãn điều kiện  $x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8$ .