Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.

Lời giải bài 3:

Đề ra :

Cho a , b , c là các số thực dương.

Chứng minh rằng : $\frac{a^{2} - b c}{2 a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2} - c a}{2 b^{2} + c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2} - a b}{2 c^{2} + b^{2} + a^{2}} \geq 0$ (*)

Lời giải chi tiết :

Giả sử (*) đúng <=> $\frac{2 a^{2} - 2 b c}{2 a^{2} + b^{2} + c^{2}} - 1 + \frac{2 b^{2} - 2 c a}{2 b^{2} + a^{2} + c^{2}} - 1 + \frac{2 c^{2} - 2 a b}{2 c^{2} + b^{2} + a^{2}} - 1 \geq - 3$

<=> $\frac{(b + c)^{2}}{2 a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \frac{(a + c)^{2}}{2 b^{2} + a^{2} + c^{2}} + \frac{(a + b)^{2}}{2 c^{2} + b^{2} + a^{2}} \leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + c^{2}} \geq \frac{(b + c)^{2}}{2 a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
$\frac{c^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2} + a^{2}} \geq \frac{(c + a)^{2}}{2 b^{2} + c^{2} + a^{2}}$
$\frac{a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + b^{2}} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2 c^{2} + a^{2} + b^{2}}$

=> $\frac{(b + c)^{2}}{2 a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \frac{(c + a)^{2}}{2 b^{2} + c^{2} + a^{2}} + \frac{(a + b)^{2}}{2 c^{2} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + c^{2}} + \frac{c^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2} + a^{2}} + \frac{a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + b^{2}} = 3$

=> ( đpcm ) . Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c .

Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Mục lục

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề