Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=5$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : $x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=5$ .
<=> $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})-xy(x+y)=5$
<=> $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=5$
<=> $(x+y)(x-y)^{2})=5$
Do $(x-y)^{2}\geq 0$ và x, y thuộc Z nên xảy ra hai trường hợp:
TH 1 : $\left\{\begin{matrix}x+y=5 & \\ (x-y)^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x+y=5 & \\ x-y=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=3 & \\ y=2& \end{matrix}\right.$
Hoặc $\left\{\begin{matrix}x+y=5 & \\ x-y=-1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$
TH 2 : $\left\{\begin{matrix}x+y=5 & \\ (x-y)^{2}=5 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x+y=5 & \\ x-y=\pm \sqrt{5}& \end{matrix}\right.$ ( loại )
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x;y) $\in $ {(3;2); (2;3) } .