Lời giải bài 3 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai

Lời giải bài 3 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai.

Đk : $x^2\ne -a$

Gọi T là miền giá trị của hàm số => Tồn tại ít nhất 1 số $y_0\in T$  sao cho : $y_0=\frac{x+1}{x^2+a}$  có nghiệm .

<=>  $y_0{x}^2+a{y}_0=x+1$

<=>  $y_0{x}^2-x+a{y}_0-1=0$                (1)

Nếu  $y_0=0$ ,(1) => x = -1 .Với Đk : $x^2\ne -a$  <=> $a\ne -1$

Nếu  $y_0\ne 0$  , (1)  có nghiệm <=> $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }\ge 0$

<=>  $1-4y_0(a{y}_0-1)\ge 0$

<=>  $4a{y}_0^2-4y_0-1\le 0$                 (2)

+ Với  a = 0 , (2) =>  $y_0\ge \frac{-1}{4}$  chứa  $\left[\begin{array}{c}0,1\end{array}\right]$ .

=>  a = 0 ( thỏa mãn ) .

+ Với a > 0 , (2)  <=> $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\le y\le \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a}(\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=4(1+a))$

Để miền giá trị chứa   $\left[\begin{array}{c}0,1\end{array}\right]$  thì  :

         $\{\begin{array}{cc}\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\le 0& \\ \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a}\ge 1& \end{array}$

<=>    $\{\begin{array}{cc}\sqrt{1+a}\ge 1(luônđúng)& \\ \sqrt{1+a}\ge 2a-1(\ast )& \end{array}$

(*) <=>     Hoặc  $2a-1\le 0$  hoặc  $\{\begin{array}{cc}a+1\ge (2a-1{)}^2& \\ 2a-1\ge 0& \end{array}$

<=>         Hoặc  $a\le \frac{1}{2}$   hoặc  $\{\begin{array}{cc}a\ge \frac{1}{2}& \\ 4a^2-5a\le 0& \end{array}$

<=>         Hoặc  $a\le \frac{1}{2}$   hoặc   $\{\begin{array}{cc}a\ge \frac{1}{2}& \\ 0<a\le \frac{5}{4}& \end{array}$

<=>         Hoặc  $a\le \frac{1}{2}$   hoặc   $\frac{1}{2}\le a\le \frac{5}{4}$

<=>        $a\le \frac{5}{4}$ .                 (3)

Với a < 0 , $a\le -1$  =>  $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=2(1+a)\le 0$  => (2) luôn đúng .

=>  $a\le -1$  ( thỏa mãn ) .

Với a < 0 , $-1<a<0$  ,Để miền giá trị này chứa (0 , 1)  thì  :

         $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\le 0$ 

<=>    $\sqrt{1+a}\le 1$

<=>    a < 0 .                   (4)

Từ (3) ,(4)  =>  Giá  trị của a thỏa mãn bài ra là : $\{\begin{array}{cc}a\le \frac{5}{4}& \\ a\ne -1& \end{array}$