Lời giải bài 3 chuyên đề Bài toán Dựng hình.
Phân tích bài toán :
Giả sử bài toán giải xong và ta đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn yêu cầu của đề bài là $A\in Qx, B\in Oy$ và M là trung điểm của AB.
Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì $\triangle AMO = \triangle BMD$ (c.g.c)
=> $\widehat{O_{1}}=\widehat{D}$
Từ đó , DB // Ox .
Ngược lại, nếu từ D kẻ DB // Ox ( $B\in Oy$) ,rồi BM đến cắt Ox tại A thì $\triangle AMO = \triangle BMD$ (g.c.g)$ với :
- $\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$ (đối đỉnh)
- $\widehat{M_{1}}=\widehat{D}$ (so le trong ,DB // Ox)
- MD = OM (do dựng )
=> AM = MB.
Cách dựng hình :
Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng // Ox ,cắt Oy tại B.
Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của AB.
Chứng minh:
Xét $\triangle AMO$ và $\triangle BMD$ có :
- $\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$ (đối đỉnh)
- MD = OM (do dựng )
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{MDB}$ (so le trong ,DB // Ox)
=> $\triangle AMO = \triangle BMD$ (g.c.g)$
=> AM = MD .
Biện luận :
Bài toán luôn có một nghiệm.
* Bài toán có thể phân tích cách khác : Kéo MN // Ox ( $N\in Oy$ ) => MN= 2 OA .
Ngược lại, nếu kẻ MN // Ox ( $N\in Oy$ ),và lấy điểm A trên Ox sao cho OA = 2MN ,rồi kẻ AM đến cắt Oy tại B thì có AM =MB.
Quả vậy ,gọi B là trung điểm của OA => OP = PA => PM // ON.
Vậy BM phải đi qua trung điểm của AB,tức AM = MB .
Qua phân tích này ta thấy rõ cách dựng và chứng minh .
Vậy bài toán luôn có một nghiệm.