Lời giải Bài 2 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng.
Lời giải bài 2:
Đề ra :
Gọi đồ thị hàm số $y=x^{2}$ là parabol (P), đồ thị hàm số $y=(m+4)x-2m-5$ là đường thẳng (d).
a. Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt U và V có hoành độ lần lượt là $x_{1};x_{2}$ . Tìm các giá trị của m sao cho $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=0$ .
Lời giải chi tiết :
Ta có : phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( P ) là : $x^{2}=(m+4)x-2m-5$
<=> $x^{2}-(m+4)x+2m+5=0$ (1)
Ta có : $\Delta =\left [ -(m+4)\right ]^{2}-4(2m+5)=(m+4)^{2}-4(2m+5)=m^{2}-4=(m-2)(m+2)$
a. Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> (1) phải có 2 nghiệm phân biệt <=> $\Delta >0$
<=> $(m-2)(m+2)>0 $
<=> Hoặc $\left\{\begin{matrix}m-2<0 & \\ m+2>0 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}m-2>0 & \\ m+2<0 & \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc m - 2 > 0 hoặc m + 2 < 0 .
<=> Hoặc m > 2 hoặc m < - 2 .
Vậy: với m > 2 hoặc m < -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt .
b. Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=m+4 & \\ x_{1}.x_{2}2m+5& \end{matrix}\right.$
Ta có : $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})\left [ (x_{1}+x_{2})^{2} -3x_{1}x_{2}\right ]$ .
= $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(m+4)\left [ (m+4)^{2} -3(2m+5)\right ]$ .
= $(m+4)(m+1)^{2}$
Để $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=0$ <=> $(m+4)(m+1)^{2}$ = 0
<=> Hoặc m + 4 = 0 hoặc $(m+1)^{2}=0$
<=> Hoặc m = - 4 ( t/mãn ) hoặc m = - 1 ( loại ) .
Vậy : m = - 4 là giá trị cần tìm để khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt U và V có hoành độ lần lượt là $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=0$ .