Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.

Đề bài :

Cho hệ phương trình: ${\begin{matrix} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{matrix}$ (m là tham số)

a. Giải hệ phương trình khi m = 2.

b. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. Khi m = 2 , thay vào hệ trên ta được : ${\begin{matrix} x + y = 2 \\ 2 x + y = 3 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} x = 1 \\ x + y = 2 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$

Vậy khi m = 2 thì hệ trên có nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) .

b. ${\begin{matrix} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} y = 2 - (m - 1) x \\ m x + 2 - (m - 1) x = m + 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} y = 2 - (m - 1) x \\ m x + 2 - m x + x = m + 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} y = 2 - (m - 1) x \\ x = m - 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} y = 2 - (m - 1) (m - 1) \\ x = m - 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} y = - m^{2} + 2 m + 1 \\ x = m - 1 \end{matrix}$

Vậy với mọi m , hệ phương trình luôn có nghiệm ( x ; y ) = ( m - 1 ; $- m^{2} + 2 m + 1$ ) .

Ta có : 2x + y ≤ 3 <=> $2 (m - 1) + (- m^{2} + 2 m + 1) \leq 3$ (*)

Mà : $2 (m - 1) + (- m^{2} + 2 m + 1) = - m^{2} + 4 m - 4 = - (m - 2)^{2} \leq 0$

=> (*) luôn đúng => 2x + y ≤ 3 .

Vậy với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : 2x + y ≤ 3 . ( đpcm )