Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.
Lời giải bài 2:
Đề ra :
1. Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+6}+x^{2}=7-\sqrt{x-1}$
2. Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}2x(x-1)+(y-1)(2y+1)=0 & \\ 2y^{2}+2x+y+1=6xy & \end{matrix}\right.$
Lời giải chi tiết :
1. $\sqrt[3]{x+6}+x^{2}=7-\sqrt{x-1}$ (1)
Đk : $x\geq 1$
(1) <=> $\sqrt[3]{x+6}-2+x^{2}-4+\sqrt{x-1}-1=0$
<=> $\frac{x-2}{\sqrt[3]{(x+6)^{2}}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+(x-2)(x+2)+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=0$
<=> Hoặc x = 2 hoặc $\frac{1}{\sqrt[3]{(x+6)^{2}}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+x+2+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=0 (*)$
Từ (*) , ta có : $VT=\frac{1}{\sqrt[3]{(x+6)^{2}}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+x+2+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}> 0 , \forall X\geq 1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .
2. $\left\{\begin{matrix}2x(x-1)+(y-1)(2y+1)=0 & \\ 2y^{2}+2x+y+1=6xy & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+2y^{2}=2x+y+1 (1) & \\ 2y^{2}+2x+y+1=6xy (2)& \end{matrix}\right.$
Thay (1) và (2) , ta được : $2x^{2}+4y^{2}=6xy<=>x^{2}-3xy+2y^{2}=0$
<=> Hoặc x = y hoặc x = 2y .
+ Với x = y => Hệ phương trình có các cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( 1 ; 1 ), $(\frac{-1}{4};\frac{-1}{4})$ } .
+ Với x = 2y => Hệ phương trình có cặp nghiệm ( x ; y ) = $(\frac{5\pm \sqrt{65}}{10};\frac{5\pm \sqrt{65}}{20})$ .
Vậy Hệ phương trình có các cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( 1 ; 1 ) , $(\frac{-1}{4};\frac{-1}{4})$ , $(\frac{5\pm \sqrt{65}}{10};\frac{5\pm \sqrt{65}}{20})$ } .