Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Đề bài :

Cho biểu thức $A = \frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{2 a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 1$ , với a > 0.

a. Rút gọn A.

b. Tìm giá trị của a để A = 2.

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $A = \frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{2 a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 1$ , với a > 0.

+ Với a > 0 => $\sqrt{a}$ có nghĩa .

Khi đó : $a - \sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với a > 0.

=> A có nghĩa với a > 0.

=> $A = \frac{\sqrt{a} [(\sqrt{a})^{3} + 1]}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} (2 \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} + 1$

<=> $A = a - \sqrt{a}$ .

b. Để A = 2 <=> $A = a - \sqrt{a}$ = 2 <=> $a - \sqrt{a} - 2 = 0$ (*)

Đặt $\sqrt{a} = t (t > 0)$

(*) <=> $t^{2} - t - 2 = 0$

Ta có : $Δ = (- 1)^{2} - 4.1 . (- 2)) = 9 > 0 => \sqrt{Δ} = 3$

=> $t_{1} = - 1; t_{2} = 2$

+ Với $t_{1} = - 1$ => ( loại vì t < 0 ) .

+ Với $t_{2} = 2 <=> \sqrt{a} = 2 => a = 4$ ( t/mãn ) .

Vậy a = 4 thỏa mãn yêu cầu bài ra .

c. Ta có : $A = a - \sqrt{a} = a - 2 \sqrt{a} \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}$ .

<=> $(\sqrt{a} - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4 \geq - \frac{1}{4}}, \forall a > 0$

Dấu " = " xảy ra <=> $\sqrt{a} - \frac{1}{2} = 0 <=> a = \frac{1}{4}$ ( t/mãn đk a> 0 ) .

Vậy $A_{m i n} = \frac{- 1}{4}$ khi $a = \frac{1}{4}$ .