Hướng dẫn giải câu 5 đề thi Toán vào 10 Năm 2017 TP HCM

Hướng dẫn giải câu 5 đề thi Toán vào 10 Năm 2017 TP HCM.

a)  Ta có : 

• $\widehat{ADB}={90}^{\circ }$   ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn )
• $\widehat{ADB}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$

=> Tứ giác AHDC là tứ giác nội tiếp    (đpcm )

• $\widehat{CHD}=\widehat{DAC}$  ( cùng chắn cung DC )
• $\widehat{DAC}=\widehat{ABC}$

=> $\widehat{CHD}=\widehat{ABC}$    ( đpcm )

b)  Xét $\mathrm{△}OHB$ và $\mathrm{△}OBC$ ,có : 

$\hat{O}$ chung

$O{B}^2=O{A}^2=OH.OC=$

=>  $\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}$

=> $\mathrm{△}OHB\sim \mathrm{△}OBC(c-g-c)$

=> $\widehat{OHB}=\widehat{OBC}$    ( 2 góc tương ứng )

Mà : $\widehat{OBC}=\widehat{DAC}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{OBC}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{OHB}=\widehat{DHC}$

=>  $\widehat{BHM}=\widehat{DHM}$

Vậy HM là  là tia phân giác của góc BHD.   ( đpcm )

c)  

Vì HM là đường phân giác của góc BHD

=> $\frac{MB}{MD}=\frac{HB}{HD}$  (t/c đường phân giác)

Mà : $HM\perp HC$  =>  HC là đường phân giác ngoài của góc BHD .

=>  $\frac{CB}{CD}=\frac{HB}{HD}$

=>  $\frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$

=>  $MD.BC=MB.CD$

Ta có : $\frac{MB}{MD}=\frac{BH}{HD}=\frac{CB}{CD}=>\frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$

=> $\frac{MB+MD}{MD}=\frac{CB}{CD}+1$

=>  $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$

=>  $BD.CD=MD(CB+CD)$

Ta có : $MB.MD=MK.MC=(MB.\frac{BD}{2}).MC$

<=> $MB.(MC-MD)=\frac{BD.MC}{2}$

<=>  $MB.CD=\frac{BD.MC}{2}$

=>  $MD.CB=\frac{BD.MC}{2}$

Ta có : $2MD.BC=MC.BD<=>\frac{BD}{MD}=\frac{2BC}{MC}=\frac{2BC}{MD+CD}$    (1)

Mặt khác , ta có : $\frac{BD}{MD}=\frac{CB+CD}{CD}$ 

Từ (1) <=> $\frac{CB+CD}{CD}=\frac{2BC}{MC.CD}$

<=> $2BC.CD=(CB+CD)(MD+CD)$

<=> $2BC.CD=CB.MD+CD.MD+CB.CD+C{D}^2$

<=> $2BC.CD=MB.CD+CD.MD+CB.CD+C{D}^2$

<=> $2BC=MB+MD+BC+CD<=>2BC=2BC$   ( luôn đúng )

=>  ( đpcm )

d)  Gọi N là giao điểm của MA và (O)

Ta có : 

• $MK.MC=MB.MD$
• $MB.MD=MN.MA$

Vì I , J cùng thuộc (O)  => $MB.MD=MN.MA=MI.MJ$

=>  $MK.MC=MI.MJ$

=>  $\mathrm{△}MJK\sim \mathrm{△}MCI(c-g-c)$

=>  $\{\begin{array}{cc}\widehat{JMK}=\widehat{IMC}& \\ \frac{MI}{MK}=\frac{MC}{MJ}& \end{array}$

=>  $\widehat{MJK}=\widehat{MCI}=>\widehat{MJK}=\widehat{MEK}$

=> Tứ giác KJEM nội tiếp .

=>  $\widehat{MJE}=\widehat{MKE}={90}^{\circ }$

=>  $\widehat{FJI}={90}^{\circ }$

=>  FI là đường kính của (O).

=>  $F\in (O)$

=>  Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).   ( đpcm )