Hướng dẫn giải câu 4 đề thi Toán vào 10 Năm 2017 TP HCM.
a) Để (1) có hai nghiệm phân biệt <=> $\Delta >0$
<=> $\left [ -(2m-1) \right ]^{2}-4(m^{2}-1)>0$
<=> $4m^{2}-4m+1-4m^{2}+4>0$
<=> $5-4m>0<=> m<\frac{5}{4}$
Vậy với $m<\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
b) Từ câu a) , với $m<\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.
Áp dụng định lí Vi-et cho (1) , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m-1 (2)& \\ x_{1}.x_{2}=m^{2}-1 (3) & \end{matrix}\right.$
Theo đề ra , ta có : $(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}-3x_{2}$.
<=> $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=x_{1}-3x_{2}$
<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=x_{1}-3x_{2}$
<=> $(2m-1)^{2}-4(m^{2}-1)=x_{1}-3x_{2}$
<=> $4m^{2}-4m+1-4m^{2}+4=x_{1}-3x_{2}$
<=> $5-4m=x_{1}-3x_{2}$ (*)
Từ (2) => $x_{1}=2m-1-x_{2}$ , thay vào (*) ta được : $5-4m=2m-1-x_{2}-3x_{2}$
<=> $x_{2}=\frac{3}{2}(m-1)$
=> $x_{1}=2m-1-\frac{3}{2}(m-1)=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}$
Thay giá trị $x_{1},x_{2}$ vào (3), ta có : $\frac{1}{2}(m+1).\frac{3}{2}(m-1)=m^{2}-1$
<=> $\frac{3}{4}(m^{2}-1)=m^{2}-1$
<=> $\frac{-1}{4}(m^{2}-1)=0$
<=> $m^{2}-1=0=> m=\pm 1 (t/m)$
Vậy $ m=\pm 1 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.