Giải câu 7 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.
a. Xét hiệu:
$u_{n +1} -u_{n}= \left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right ) - \left ( n+\frac{1}{n+1} \right )$
\(= 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},n \in {N^*}\)
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng (1)
Ta lại có: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}\)
Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b. Ta có:
\(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)
$u_{2}=(-1)^{1}.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$
$u_{3}=(-1)^{2}.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$
$\Rightarrow u_{1}> u_{2}$và $u_2< u_3$
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:\(\eqalign{ & |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c. Ta có:
\({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
Ta có:
\(\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
\(\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)
$\Rightarrow u_{n}$là dãy số giảm (1)
Ta lại có: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\)
Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn