Giải câu 7 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giải câu 7 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

a. Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=(n+1+\frac{1}{n+1})-(n+\frac{1}{n+1})$

$=1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)},n\in N^{\ast }$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng (1)

Ta lại có: $u_n=n+\frac{1}{n}\ge 2\sqrt{n.\frac{1}{n}}=2,\mathrm{\forall }n\in N^{\ast }$

Nên $u_n$ là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi $n$ càng lớn thì $u_n$ càng lớn nên $u_n$ là dãy số không bị chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b. Ta có:

$u_1=(-1{)}^{0}sin1=sin1>0$

$u_2=(-1{)}^1.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$

$u_3=(-1{)}^2.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$

$\Rightarrow u_1>u_2$và $u_2<u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:$\begin{array}{rl}& |u_n|=|(-1{)}^{n-1}.\sin \frac{1}{n}|=|\sin \frac{1}{n}|\le 1\\ \iff -1\le u_n\le 1\end{array}$

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c.  Ta có:

$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Ta có:

$\{\begin{array}{c}\sqrt{n+2}>\sqrt{n+1}\hfill \\ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}\hfill \end{array}$

$\Rightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0$

$\Rightarrow u_n$là dãy số giảm (1)

Ta lại có: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0,\mathrm{\forall }n\in N\ast$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge \sqrt{2}+1$

Nên $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên  (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn