Giải Câu 7 Bài: Bài tập ôn tập chương 3.
a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\)
Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\)
\(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).
Do \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\),
Ta có:
\(\eqalign{
& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Tính ra: \(SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\)
Ta cũng có: \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\)
Trong tam giác vuông \(SHC\):
\(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\)
Do đó ta tính được:
\(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)
b)
\(\left. \matrix{
SH \bot (ABCD) \hfill \cr
SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}(1) \cr
& B{C^2} = {a^2}(2) \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}(3) \cr} \)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\)
Theo định lí Pytago đảo, tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \)
Suy ra: \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \widehat{ SOH} = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \)