Giải Câu 6 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Giải Câu 6 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc.

a) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$

Theo tính chất của hình thoi thì $O$ là trung điểm của $AC,BD$

Tam giác cân $SAC$ có $SA=SC(gt)$

=> $\mathrm{\Delta }SAC$ cân tại $S$ có $SO$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. 

=> $SO\mathrm{\perp }AC$                                                             (1)

Mặt khác $ABCD$ là hình thoi nên $AC\mathrm{\perp }BD$      (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\begin{array}{cc}SO& \perp AC\\ BD& \perp AC\\ SO& \cap BD\end{array}\}\Rightarrow AC\perp (SBD)$

mà $AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\mathrm{\perp }(SBD)$

b) Xét $\mathrm{\Delta }SACvà\mathrm{\Delta }BAC$ có:

                     $ACchung$

             $SA=AB(=a);SC=BC=(a)$

=> $∆SAC=∆BAC(c.c.c)$

Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

=> $SO=BO$

Vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên $OB=OD=\frac{1}{2}.BD$

Suy ra $SO=\frac{1}{2}.BD$

=> Tam giác $SBD$ vuông tại $S$  (Đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)