Giải câu 6 bài 3: Hàm số liên tục.
a) Hàm số \(fx)=2x^3-6x + 1 = 0\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Ta có:
$f(1)=2.1^3-6.1+1=-3$
$f(0)=2.0^3-6.0+1=1$
$f(-2)=2.(-2)^3-6.(-2)+1=-3$
\(f(0).f(1) = 1.(-3) < 0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((0; 1)\).
\(f(-2).f(0)=-3<0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((-2; 0)\).
Vì phương trình có nghiệm trong hai khoảng khác nhau nên nghiệm không thể trùng nhau.
Vậy phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
b) Hàm số \(g(x) = cos\,x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Xét hàm số $g(x) = cos \,x - x$ liên tục trên \(\mathbb R\), do đó liên tục trên đoạn \(\left [ - π; π \right ]\) ta có:
$g(- π) = - π – cos (- π) = - π + 1 < 0$
$g( π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0$
$g(- π). g( π) <0$
Theo định lí 3, phương trình $x – cos \,x = 0$có nghiệm trong \(\left ( - π; π \right )\)
Hay là hàm số $cos\, x = x$ có nghiệm.