Giải câu 5 đề 5 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Giải câu 5 đề 5 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

Ta có: $(a - b)^{2} \geq 0 => a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

$a^{3} + b^{3} + a b c = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) + a b c$

$a^{3} + b^{3} + a b c \geq (a + b) (2 a b - a b) + a b c = a b (a + b) + a b c$

=> $a^{3} + b^{3} + a b c \geq a b (a + b + c)$

Vì a, b, c > 0 nên:

$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + a b c} \leq \frac{1}{a b (a + b + c)}$

Tương tự, ta có:

$\frac{1}{b^{3} + c^{3} + a b c} \leq \frac{1}{b c (a + b + c)}$

$\frac{1}{c^{3} + a^{3} + a b c} \leq \frac{1}{c a (a + b + c)}$

=> $\frac{1}{a^{3} + b^{3} + a b c} + \frac{1}{b^{3} + c^{3} a b c} + \frac{1}{c^{3} + a^{3} + a b c} \leq \frac{1}{a b c}$

$\leq \frac{1}{a b (a + b + c)} + \frac{1}{b c (a + b + c)} + \frac{1}{c a (a + b + c)} \leq \frac{a + b + c}{a b c (a + b + c)} = \frac{1}{a b c}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c