Giải câu 5 đề 17 ôn thi toán lớp 9 lên 10.
ĐK: $x^{3}+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1 (1)$
Đặt: $a=\sqrt{x+1};b=\sqrt{x^{2}-x+1}, (a\geq 0;b> 0)(2)$ $\Rightarrow a^{2}+b^{2}=x^{2}+2$
Khi đó phương trình trở thành: $10.ab=3.(a^{2}+b^{2})$
$\Leftrightarrow (a-3b)(3a-b)= 0\Leftrightarrow a=3b$ hoặc $b=3a$
Nếu $a=3b$ thì từ (2) suy ra: $\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-x+1}\Leftrightarrow 9x^{2}-10x-8=0$ (vô nghiệm)
Nếu $b=3a$ thì từ (2) suy ra: $3\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-x+1}\Leftrightarrow 9x+9=x^{2}-x+1\Leftrightarrow x^{2}-10x-8=0$. Phương trình có hai nghiệm: $x_{1}=5+\sqrt{33}; x_{2}=5-\sqrt{33}$ (thỏa mãn(1))
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}=5+\sqrt{33}; x_{2}=5-\sqrt{33}$