Giải câu 41 bài: Ôn tập chương 3 sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 27

Giải câu 41 bài: Ôn tập chương 3 sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 27.

a. $\left\{$$\begin{array}{cc}x\sqrt{5}-(1+\sqrt{3})y=1& \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1& \end{array}$$\right.$

$\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}x=\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}& \\ (1-\sqrt{3})x+y\sqrt{5}=1& \end{array}$$\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được :

$\left\{$$\begin{array}{cc}x=\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}(1)& \\ (1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1(2)& \end{array}$$\right.$

Giải phương trình (2) ta có :

$(1-\sqrt{3})\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1$

$\iff \frac{1-\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}+\frac{5y}{\sqrt{5}}=1$

$\iff 1-\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})y+5y=\sqrt{5}$

$\iff (1-3)y+5y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}$

$\iff 3y=\sqrt{5}-1+\sqrt{3}$

$\iff y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}$

Thay y vào phương trình (1) ta được:

$x=\frac{1+(1+\sqrt{3})y}{\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{1+(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{3+(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}-1)}{3\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{3}-1+\sqrt{15}+3-\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{5+\sqrt{5}+\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3\sqrt{5}}$

$\iff x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};y=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}}{3}$

b. $\left\{$$\begin{array}{cc}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2}& \\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1& \end{array}$$\right.$

Đặt $\frac{x}{x+1}=u;\frac{y}{y+1}=v$

Ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình ban đầu là:

$\left\{$$\begin{array}{cc}2u+v=\sqrt{2}& \\ u+3v=-1& \end{array}$$\right.\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2u& \\ u+3v=-1& \end{array}$$\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được:

$\left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2u& \\ u+3(\sqrt{2}-2u)=-1& \end{array}$$\right.\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2u& \\ u+3\sqrt{2}-6u=-1& \end{array}$$\right.$

$\left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2u& \\ -5u=-1-3\sqrt{2}& \end{array}$$\right.\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2u& \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}& \end{array}$$\right.$

$\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\sqrt{2}-2\frac{1+3\sqrt{2}}{5}& \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}& \end{array}$$\right.\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\frac{5\sqrt{2}-2-6\sqrt{2}}{5}& \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}& \end{array}$$\right.$

$\Leftrightarrow \left\{$$\begin{array}{cc}v=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}& \\ u=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}& \end{array}$$\right.$

Ta có: $\frac{x}{x+1}=u\iff \frac{x}{x+1}=\frac{1+3\sqrt{2}}{5}$

$\iff 5x=(x+1)(1+3\sqrt{2})\iff 5x=x+3x\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}$

$\iff x+3x\sqrt{2}-5x+1+3\sqrt{2}=0\iff x(3\sqrt{2}-4)=-1-3\sqrt{2}$

$\iff x=\frac{-1-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-4}\iff x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}$

Ta có: $\frac{y}{y+1}=v\iff \frac{y}{y+1}=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}$

$\iff 5y=(y+1)(-\sqrt{2}-2)\iff -y\sqrt{2}-2y-\sqrt{2}-2-5y=0$

$\iff y(-\sqrt{2}-7)=\sqrt{2}+2\iff y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}};y=\frac{-\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+7}$