Giải câu 40 bài: Luyện tập sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 57.
a) \(3{({x^2} + x)^2}-2({x^2} + x)-1 = 0\)
Đặt \(t = {x^2} + x\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(3{t^2}-2t-1 = 0\)(1)
Ta thấy $a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$
Vậy phương trình(1) có hai nghiệm là \({t_1} = 1,{t_2} = \frac{c}{a}=- {1 \over 3}\)
Với \({t_1} = 1\)
Ta có: \({x^2} + x = 1\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x-1 = 0\)
\(\Delta =4 + 1=5\)
\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 5 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với \({t_2}= -\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x = - {1 \over 3}\)(*)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 3x{\rm{ + }}1{\rm{ = }}0\)
\(\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\)
Vậy phương trình (*)vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({({x^2}-4x + 2)^2} + {x^2}-4x-4 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}-4x + 2\)
Ta có phương trình đã cho trở thành \({t^2} + t-6 = 0\)
\(\Delta =1^{2}-4.1.(-6)=25\)
$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-1+5}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-1-5}{2} \hfill \cr} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=2 \hfill \cr t_{2}=-3 \hfill \cr} \right.$
Với \({t_1}= 2\) ta có: \({x^2}-4x + 2 = 2\)
\(\Leftrightarrow {x^2}-4x = 0\)
$\Leftrightarrow x(x-4)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x_{1}=0 \hfill \cr x_{2}=4 \hfill \cr} \right.$
Với \({t_2}= -3\) ta có: \({x^2}-4x + 2 = - 3\Leftrightarrow {x^2}-4x + 5 = 0\).
\(\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\)
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 0, {x_2}= 4\).
c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\). Điều kiện: \(x ≥ 0\)
Đặt \(t = \sqrt{x}, t ≥ 0\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(t^{2} -t= 5t + 7\)
$\Leftrightarrow t^{2}-t-5t-7=0$
$\Leftrightarrow t^{2}-6t-7=0$
Ta thấy $a-b+c=1-(-6)+(-7)=0$
Suy ra phương trình có hai nghiệm là $t_{1}=-1(loại); t_{2}=\frac{c}{a}=-\frac{-7}{1}=7(nhận)$
Với \(t = 7\), ta có: \(\sqrt{x} = 7\)
\(\Rightarrow x = 7^{2}=49\).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x = 49\)
d) \(\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 0\)
Đặt \(\frac{x}{x+ 1} = t \Rightarrow \frac{x+1}{x}=\frac{1}{t}\).
Vậy phương trình đã cho trở thành
\(t - \frac{10}{t} – 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow {t^2}-3t-10 = 0\)
\(\Delta = (-3)^{2}-4.1.(-10)=49\)
$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-(-3)+7}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-(-3)-7}{2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=5 \hfill \cr t_{2}=-2 \hfill \cr} \right.\)
Với \({t_1}= 5\), ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\)
\(\Leftrightarrow x = 5x + 5\)
\(\Leftrightarrow 4x + 5=0\)
\(\Leftrightarrow x = -\frac{5}{4}\)
Với \({t_2} = -2\), ta có \(\frac{x}{x+ 1}= -2\)
\(\Leftrightarrow x = -2x – 2\)
\(\Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1}= -\frac{5}{4}\), \({x_2} =-\frac{2}{3}\)