Giải câu 4 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 4 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

<=> $\sqrt{3(x+1{)}^2+4}+\sqrt{5(x+1{)}^2+9}=5-(x+1{)}^2$

Ta có: $\sqrt{3(x+1{)}^2+4}\ge 2$, $\sqrt{5(x+1{)}^2+9}\ge 3$

=> $[\sqrt{3(x+1{)}^2+4}+\sqrt{5(x+1{)}^2+9}]\ge 2+3=5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 => x = -1 (1)

Mặt khác $5-(x+1{)}^2\le 5$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 => x = -1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 5 khi và chỉ khi x = - 1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}

b, $\frac{x^2-6x+15}{x^2-6x+11}=\sqrt{x^2-6x+18}$

<=> $\frac{(x-3{)}^2+6}{(x-3{)}^2+2}=\sqrt{(x-3{)}^2+9}$

Ta có: $\frac{(x-3{)}^2+6}{(x-3{)}^2+2}\ge \frac{6}{2}=3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 => x = 3 (1)

Mặt khác $\sqrt{(x-3{)}^2+9}\ge 3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 => x = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 3 khi và chỉ khi x = 3

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}

c, $\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x-1}=2$

ĐKXĐ: $x\ge 1$

$\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x-1}=2$ <=> $\sqrt{(x-1{)}^2+4}+\sqrt{x-1}=2$

Xét $\sqrt{(x-1{)}^2+4}+\sqrt{x-1}\ge 2+0=2$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 => x = 1

=> Hai vế của phương trình đều bằng 2 khi và chỉ khi x = 1 (tm)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}

d, $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$

ĐKXĐ: $2\le x\le 4$

Ta có: $(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}{)}^2\le 2(x-2+4-x)=4$ <=> $0\le \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2$ (1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}$ <=> x - 2 = 4 - x <=> x = 3

Mặt khác $x^2-6x+11=(x-3{)}^2+2\ge 2$ (2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 <=> x = 3

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 2 khi và chỉ khi x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}