Giải câu 4 trang 121 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 4 trang 121 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, Xét tam giác ABC có:

• AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
• AO = $\frac{1}{2}$BC (= bán kính của đường tròn)

=> Tam giác ABC vuông tại A (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

b, + OK // AB và CA $\perp$ AC (Tam giác ABC vuông tại A)

=> OK $\perp$ AC

+ OK cắt AC tại H => H là trung điểm của AC và OH $\perp$ AC

Xét tam giác OAC có OA = OC 

=> Tam giác OAC cân tại O

+ OH là đường cao của tam giác cân OAC => OH là đường phân giác của góc AOC.

=> $\widehat{AOH}=\widehat{HOC}$

+ Xét tam giác AOI và tam giác IOC có:

• OA = OC
• OI là cạnh chung
• $\widehat{AOI}=\widehat{IOC}$

=> $\mathrm{\Delta }$AOI = $\mathrm{\Delta }$IOC

=> $\widehat{OAI}=\widehat{OCI}$

+ IC là tiếp tuyến của đường tròn tại C

=>$\widehat{OCI}={90}^0$ =>  $\widehat{OAI}={90}^0$

=> OA $\perp$ AI tại A

=> IA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

c, OC = $\frac{1}{2}$BC = 15 cm

+ AC = $\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{30}^2-{18}^2}=24$ (cm)

+ HC = $\frac{1}{2}$AC = 12 cm

+ OH = $\sqrt{O{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{{15}^2-{12}^2}=9$ (cm)

+ cos$\widehat{HOC}=\frac{OH}{OC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ = cos$\widehat{IOC}$

+ cos$\widehat{IOC}=\frac{OC}{OI}=\frac{3}{5}=0,6$  

=> OI = $\frac{OC}{0,6}=\frac{15}{0,6}=25$ (cm)

+ CI = $\sqrt{O{I}^2-O{C}^2}=\sqrt{{25}^2-{15}^2}=20$ (cm)

d, Ta có IA và IC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O)

=> IA = IC 

Mà OA = OC => OI là đường trung trực của AC

K $\in$ OI => KA = KC

=> Tam giác AKC cân tại K

=> $\widehat{CAK}=\widehat{ACK}$

+ Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KCI}$ (góc nội tiếp = góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đó)

=> $\widehat{ACK}=\widehat{KCI}$

=> CK là phân giác của góc ACI