Giải câu 4 trang 102 toán VNEN 9 tập 2.
a) Gọi Q là giao điểm của AD và EF.
Ta có: M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB nên D, E, F lần lượt là điểm chính giữa của các cung BC, cung AC, cung AB.
$\Rightarrow $ AD, BE, CF lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BAC};\;\widehat{ABC};\;\widehat{ACB}$
- Xét cung nhỏ AF: $Sd AF = 2\widehat{C_1} = \widehat{ACB}$ (1)
- Xét cung nhỏ DE:
cung DE = cung DC + cung CE.
$sd DC = 2\widehat{A_1} = \widehat{BAC}$
$sd EC = 2\widehat{B_1} = \widehat{ABC}$
$\Rightarrow sd DE = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow sd DE + sd AF = \widehat{ACB} + \widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)
Lại có: $\widehat{AQF}$ là góc trong của (O; R) $\Rightarrow \widehat{AQF} = \frac{1}{2}(sd DE + sd AF) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$
$\Rightarrow $ AD vuông góc với EF tại Q
b) Xét tam giác $\bigtriangleup AIC$ có $\widehat{I_1} = \widehat{A_1} + \widehat{C_1}$ (tính chất góc ngoài). (1)
Ta có: $\widehat{ICD} = \widehat{C_2} + \widehat{C_3}$
Mà $\widehat{C_3} = \widehat{A_2}$(Góc nội tiếp cùng chắn cung BD) $= \widehat{A_1} $ (Do AD là tia phân giác góc BAC)
$\widehat{C_2} = \widehat{C_1}$ (Do CF là tia phân giác góc ACB)
$\Rightarrow \widehat{ICD} = \widehat{C_2} + \widehat{C_3} = \widehat{A_1} + \widehat{C_1}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tam giác IDC cân tại D, hay ID = IC.