Giải câu 4 đề 5 ôn thi toán lớp 9 lên 10.
a. Xét tứ giác ACGO có:
∠CGA = $90^{0}$ (CG ⊥ AG)
∠COA = $90^{0}$ (CO ⊥ AO)
=> 2 đỉnh G và O cùng nhìn CA dưới 1 góc bằng nhau
=> Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp
b. Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp
=> ∠COG = ∠CAG (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CG)
Mà ∠CAG = $\frac{\widehat{COF}}{2}$(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
=> ∠COG = $\frac{\widehat{COF}}{2}$
=> OG là tia phân giác của góc ∠COF
c. Xét (O): ∠FCB = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung FB)
Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp
=> ∠OCG = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung GO)
=> ∠FCB∠ = ∠OCG
Xét ΔCGO và ΔCFB có:
∠OCG = ∠FCB
∠GOC = ∠FBC (= ∠CAF )
=> ΔCGO ∼ ΔCFB (g.g)
d) Gọi D là giao điểm của CO và AE
Xét tam giác CAB có:
CO là trung tuyến
AE là trung tuyến
CO giao AE tại D
=> D là trọng tâm của tam giác CAB.
$\Rightarrow OD=\frac{OC}{3}=\frac{R}{3}$
Xét tam giác AOD vuông tại O có:
$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}=\sqrt{R^{2}+\left ( \frac{R}{3} \right )^{2}}=\frac{R\sqrt{10}}{3}$
Xét ΔAOD và ΔAFB có:
∠FAB là góc chung
∠AOD = ∠AFB = 90o
=> ΔAOD ∼ ΔAFB
$\Rightarrow \frac{S_{AOD}}{S_{AFB}}=\left ( \frac{AD}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{R\sqrt{10}}{3}}{2R} \right )^{2}=\frac{5}{18}$
$\Rightarrow S_{AFB}=\frac{18}{5}S_{AOD}$
$S_{AOD}=\frac{1}{2}AO.DO=\frac{1}{2}R.\frac{R}{3}=\frac{R^{2}}{6}$
$\Rightarrow S_{AFB}=\frac{18}{5}S_{AOD}=\frac{18}{5}.\frac{R^{2}}{6}=\frac{3}{5}R^{2}$ (đpcm)