Giải câu 4 đề 20 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Giải câu 4 đề 20 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

Hình vẽ:

a. Ta có : $\hat{D B O} = 90^{\circ}$ , $\hat{D F O} = 90^{\circ}$ (t/c tiếp tuyến)

=> $\hat{D B O} + \hat{D F O} = 180^{\circ}$

=> Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn. (đpcm)

=> Khi đó Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF chính là trung điểm của OD ( IO = ID ).

b. Áp dụng địn lý Py- ta-go cho tam giác OFA vuông ở F , ta có :

$O A = \sqrt{O F^{2} + A F^{2}} = \sqrt{R^{2} + (\frac{4 R}{3})^{2}} = \frac{5 R}{3}$

=> $\cos \hat{F A O} = \frac{A F}{O A} = \frac{4 R}{3} : \frac{5 R}{3} = 0, 8$

Mà $\hat{F A O} = \hat{D A B}$

=> $\cos \hat{F A O} = \cos \hat{D A B}$

=> $\cos \hat{D A B} = 0, 8$ .

c. Ta có : OM // BD ( $⊥ B C$ )

=> $\hat{M O D} = \hat{B D O}$ ( so le trong )

$\hat{O D M} = \hat{B D O}$ ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )

=> $\hat{M D O} = \hat{M O D}$

Vậy tam giác MOD cân tại M => MD = MO .

Áp dụng hệ quả định lí Talet cho tam giác ABD , ta có :

$\frac{B D}{O M} = \frac{A D}{A M} <=> \frac{B D}{D M} = \frac{A D}{A M}$

<=> $\frac{B D}{D M} = \frac{A M + D M}{A M} 1 + \frac{D M}{A M}$

<=> $\frac{B D}{D M} - \frac{D M}{A M} = 1$ (đpcm) .

+ Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác OAM vuông ở O có OF ⊥ AM ta được:

$O F^{2} = M F . A F <=> R^{2} = M F . \frac{4 R}{3} => M F = \frac{3 R}{4}$

+ Áp dụng định lí pi ta go cho tam giác MFO vuông tại F ta được:

$O M = \sqrt{O F^{2} + M F^{2}} = \sqrt{R^{2} + (\frac{3 R}{3})^{2}} = \frac{5 R}{4}$

+ Vì OM // BD => $\frac{O M}{B D} = \frac{A O}{A B}$

<=> $B D = \frac{O M . A B}{O A} = \frac{5 R}{4} (\frac{5 R}{3} + R) : \frac{5 R}{3} = 2 R$

Gọi S là diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) .

S1 là diện tích hình thang OBDM; S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm $\hat{B O N} = 90^{\circ}$

Ta có : S = S1 - S2

+ S1 = $\frac{1}{2} (O M + B D) . O B = \frac{1}{2} (\frac{5 R}{4} + 2 R) . R = \frac{13 R^{2}}{8}$ (đvdt)

+ S2 = $\frac{Π R^{2} {.90}^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{Π R^{2}}{4}$ (đvdt)

=> S = S1 - S2 = $\frac{13 R^{2}}{8} - \frac{Π R^{2}}{4} = \frac{R^{2}}{8} (13 - 2 Π)$ (đvdt)

Vậy diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R là $S = \frac{R^{2}}{8} (13 - 2 Π)$ .