Giải câu 4 đề 17 ôn thi toán 9 lên 10

Giải câu 4 đề 17 ôn thi toán 9 lên 10.

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác CAOB có:

∠CAO = ${90}^0$ (AC là tiếp tuyến của (O))

∠CBO = ${90}^0$ (BC là tiếp tuyến của (O))

=> ∠CAO + ∠CBO = ${180}^0$

=> Tứ giác BCAO là tứ giác nội tiếp

b. Xét đường tròn (O) có:

∠CAF = ∠ADE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠ECF = ∠ADE (CO // AD; hai góc so le trong)

=> ∠CAF = ∠ECF

Xét ΔCFA và ΔEFC có:

∠CAF = ∠ECF

∠CFA là góc chung

=> ΔCFA ∼ ΔEFC

$\Rightarrow \frac{CF}{EF}=\frac{FA}{CF}\Rightarrow C{F}^2=FE.FA$

c. Ta có:

∠CAF = ∠EBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠CAF = ∠ECF (cmt)

=> ∠EBA = ∠ECF

Xét tứ giác CEBH có:

∠EBA = ∠ECF

=> 2 đỉnh B và C cùng nhìn EH dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác CEBH là tứ giác nội tiếp

=> ∠BEH = ∠HCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)

Mà ∠HCB = ∠HCA (CO là tia phân giác của góc ACB)

=> ∠BEH = ∠HCA (1)

Mặt khác: ΔCFA ∼ ΔEFC => ∠HCA = ∠CEF (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) : ∠BEH = ∠CEF

d. Xét tam giác ACO vuông tại A có:

$A{C}^2+A{O}^2=C{O}^2=>A{C}^2=4R^2-R^2=3R^2$

=> $C{B}^2=C{A}^2=3R^2$

Ta có: AB ⊥ CO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

CO // AD (gt)

=> AB ⊥ AD => BD là đường kính của đường tròn (O)

Xét tam giác BCD vuông tại B có:

$B{C}^2+B{D}^2=C{D}^2=>C{D}^2=3R^2+4R^2=7R^2$

=> CD = R√7

Xét ΔCEA và ΔCDA có:

$\widehat{ACD}$ là góc chung

$\widehat{CAE}$=$\widehat{ADC}$ (2 góc cùng chắn một cung)

=> $\mathrm{\Delta }CEA\sim \mathrm{\Delta }CAD(g.g)$

$\Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{CA}{CD}\Rightarrow CE=\frac{C{A}^2}{CD}=\frac{3R^2}{R\sqrt{7}}=\frac{3R}{\sqrt{7}}$

Xét tam giác CAO vuông tại A có:

$cos\widehat{AOC}=\frac{AO}{CO}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOC}={60}^0$

=> $\angle BOA=2\angle AOC={120}^0$ => $\angle AOD={60}^0$ (kề bù với góc (BOA )

Tam giác AOD cân tại O có ∠AOD = ${60}^0$ nên tam giác AOD đều

=> AD = AO = R

Ta có: OC // AD

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{FC}{DA}\Rightarrow \frac{CE}{CD}=\frac{FC}{DA+FC}$

$\Rightarrow \frac{\frac{3R}{\sqrt{7}}}{R\sqrt{7}}=\frac{FC}{R+FC}=\frac{3}{7}$

$\Rightarrow 7FC=3R+3FC\Rightarrow FC=\frac{3R}{4}\Rightarrow FO=C0-FC=2R-\frac{3R}{4}=\frac{5R}{4}$