Giải câu 4 đề 17 ôn thi toán 9 lên 10.
Hình vẽ:
a. Xét tứ giác CAOB có:
∠CAO = $90^{0}$ (AC là tiếp tuyến của (O))
∠CBO = $90^{0}$ (BC là tiếp tuyến của (O))
=> ∠CAO + ∠CBO = $180^{0}$
=> Tứ giác BCAO là tứ giác nội tiếp
b. Xét đường tròn (O) có:
∠CAF = ∠ADE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Lại có: ∠ECF = ∠ADE (CO // AD; hai góc so le trong)
=> ∠CAF = ∠ECF
Xét ΔCFA và ΔEFC có:
∠CAF = ∠ECF
∠CFA là góc chung
=> ΔCFA ∼ ΔEFC
$\Rightarrow \frac{CF}{EF}=\frac{FA}{CF}\Rightarrow CF^{2}=FE.FA$
c. Ta có:
∠CAF = ∠EBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Lại có: ∠CAF = ∠ECF (cmt)
=> ∠EBA = ∠ECF
Xét tứ giác CEBH có:
∠EBA = ∠ECF
=> 2 đỉnh B và C cùng nhìn EH dưới 2 góc bằng nhau
=> Tứ giác CEBH là tứ giác nội tiếp
=> ∠BEH = ∠HCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)
Mà ∠HCB = ∠HCA (CO là tia phân giác của góc ACB)
=> ∠BEH = ∠HCA (1)
Mặt khác: ΔCFA ∼ ΔEFC => ∠HCA = ∠CEF (2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) : ∠BEH = ∠CEF
d. Xét tam giác ACO vuông tại A có:
$AC^{2} + AO^{2} = CO^{2} => AC^{2} = 4R^{2} - R^{2}= 3R^{2}$
=> $CB^{2} = CA^{2} = 3R^{2}$
Ta có: AB ⊥ CO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
CO // AD (gt)
=> AB ⊥ AD => BD là đường kính của đường tròn (O)
Xét tam giác BCD vuông tại B có:
$BC^{2} + BD^{2} = CD^{2} => CD^{2} = 3R^{2} + 4R^{2} = 7R^{2}$
=> CD = R√7
Xét ΔCEA và ΔCDA có:
$\widehat{ACD}$ là góc chung
$\widehat{CAE}$=$\widehat{ADC}$ (2 góc cùng chắn một cung)
=> $\Delta CEA\sim \Delta CAD (g.g)$
$\Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{CA}{CD}\Rightarrow CE=\frac{CA^{2}}{CD}=\frac{3R^{2}}{R\sqrt{7}}=\frac{3R}{\sqrt{7}}$
Xét tam giác CAO vuông tại A có:
$cos\widehat{AOC}=\frac{AO}{CO}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOC}=60^{0}$
=> $∠BOA = 2∠AOC = 120^{0}$ => $∠AOD = 60^{0}$ (kề bù với góc (BOA )
Tam giác AOD cân tại O có ∠AOD = $60^{0}$ nên tam giác AOD đều
=> AD = AO = R
Ta có: OC // AD
$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{FC}{DA}\Rightarrow\frac{CE}{CD}=\frac{FC}{DA+FC}$
$\Rightarrow \frac{\frac{3R}{\sqrt{7}}}{R\sqrt{7}}=\frac{FC}{R+FC}=\frac{3}{7}$
$\Rightarrow 7FC=3R+3FC\Rightarrow FC=\frac{3R}{4}\Rightarrow FO=C0-FC=2R-\frac{3R}{4}=\frac{5R}{4}$