Giải câu 4 đề 16 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Giải câu 4 đề 16 ôn thi toán lớp 9 lên 10.

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác AHCK ta có: $\widehat{AHK}=\widehat{ACK}={90}^0$

Mà hai đỉnh H,CH,C kề nhau cùng nhìn cạnh AK dưới góc ${90}^0$

⇒AHCK là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b. Chứng minh AD.AN = AB.AM.

Ta có: $AM//CD\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{DCN}$(hai góc đồng vị)

$\widehat{DCN}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD.

$\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn cung AB.

Mà cung AB bằng cung CD do ABCD là hình chữ nhật.

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AMN}(=\widehat{DCN})$

Xét $\mathrm{\Delta }ABD$ và $\mathrm{\Delta }ANM$ ta có:

$\hat{A}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AMN}(cmt)$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD\sim \mathrm{\Delta }AMN(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AN}=\frac{AD}{AM}\Rightarrow AB.AM=AD.AN(đpcm)$

c. Ta có E là trung điểm của MN(gt) ⇒ AE = ME = EN tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{ENA}$

$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{EAN}+\widehat{ANE}=2\widehat{ENA}$ (góc ngoài của tam giác)

Vì $\mathrm{\Delta }ABD\sim \mathrm{\Delta }ANM(cmt)\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ANC}$ (hai góc tương ứng)

Vì ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{ANC}(=\widehat{ABD})$

$\Rightarrow \widehat{HEC}=2\widehat{ANE}=2\widehat{BDC}=2\widehat{ODC}(1)$

Xét $\mathrm{\Delta }OCD$ cân tại O ta có: $\widehat{DOC}+\widehat{OCD}+\widehat{ODC}={180}^0$

$\iff \widehat{DOC}+2.\widehat{ODC}={180}^0(2)$

$\Rightarrow \widehat{DOC}+\widehat{HEC}={180}^0$

Từ (1) và (2) => $\widehat{DOC}+\widehat{HEC}={180}^0$ (cmt)

Xét tứ giác OHEC ta có: $\widehat{DOC}+\widehat{HEC}={180}^2(cmt)$

⇒OHEC là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng ${180}^0$).

$\Rightarrow \widehat{OHE}+\widehat{OCE}={180}^2$

$\iff \widehat{OHE}={180}^2-{90}^2={90}^2$

$\Rightarrow OH\perp HE$

Mà $OE\perp AH(gt)$ => A, H, E thẳng hàng.

d. Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2=6^2+8^2={10}^2\Rightarrow BD=10cm$

Vì $\mathrm{\Delta }ABD\sim \mathrm{\Delta }ANM(cmt)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AN}=\frac{BN}{MN}=\frac{AD}{AM}$

$\iff \frac{6}{AN}=\frac{8}{AM}=\frac{10}{MN}$

$\iff \{\begin{array}{ccc}AM=\frac{8MN}{10}=\frac{4}{5}MN& & \\ AN=\frac{6}{10}MN=\frac{3}{5}MN& & \end{array}$

Xét tam giác $\mathrm{\Delta }DBC$ và $\mathrm{\Delta }CMB$ ta có:

$\widehat{DCB}=\widehat{CBM}={90}^2$

$\widehat{BDC}=\widehat{BCM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }DCB\sim CBM(g-g)$

$\Rightarrow \frac{DC}{BC}=\frac{BC}{BM}\iff \frac{6}{8}=\frac{8}{BM}$

$\iff BM=\frac{32}{3}$ (cm)

$\Rightarrow AM=AB+BM=6+\frac{32}{3}=\frac{50}{3}$ (cm)

$\Rightarrow MN=\frac{5}{4}AM=\frac{5}{4}.\frac{50}{3}=\frac{125}{6}$ (cm)

Vậy $MN=\frac{125}{6}$ (cm)