Giải Câu 4 Bài: Bài tập ôn tập chương 3

Giải Câu 4 Bài: Bài tập ôn tập chương 3.

a) Theo giả thiết hình thoi $ABCD$ có: $\widehat{BAD}={60}^0$ => $\widehat{BCD}={60}^0$

    suy ra tam giác $BCD$ đều => $\widehat{CBD}={60}^0$ hay $\widehat{OBC}={60}^0$

    $ABCD$ là hình thoi => $AC\perp BD\equiv O$ => $\mathrm{\Delta }BOC$ vuông tại O có $E$ là trung điểm $BC$

    => $OE=EB=EC=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

    Xét tam giác $BOE$ có $BO=BE-cmt$ và $\widehat{OBE}={60}^0$ nên tam giác $BOE$ đều

    Có $F$ là trung điểm $BD$ => $OF$ đồng thời là đường cao => $OF\perp BC$. 

     $\begin{array}{c}SO\mathrm{\perp }(ABCD)\hfill \\ \mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{B}\mathrm{C}\hfill \end{array}\}\Rightarrow SF\mathrm{\perp }BC$

      (Định lí 3 đường vuông góc) 

       $\begin{array}{c}SF\mathrm{\perp }BC\hfill \\ \mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{B}\mathrm{C}\hfill \end{array}\}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }(SOF)$

      Mà $BC\subset (SBC)$

     Suy ra $(SOF)\perp (SBC)$

b) Vì $(SOF)\perp (SBC)$ và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến $SF$

    nên từ $O$ ta kẻ $OH\perp SF$ => $OH\perp (SBC)$ => $d(O,(SBC))=OH$

    Ta có:

    $\begin{array}{rl}& SO=\frac{3a}{4};\mathrm{O}\mathrm{F}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ & OH.SF=SO.\mathrm{O}\mathrm{F}\Rightarrow \mathrm{O}\mathrm{H}=\frac{3a}{8}\end{array}$

     Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(SBC)$, ta có $AK//OH$

    Trong $\Delta AKC$ thì $OH$ là đường trung bình, do đó:

     $AK=2OH\Rightarrow AK=\frac{3a}{4}$