Giải Câu 4 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc.
Điều kiện cần: Qua $M$ có một mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\)
Gọi \(a=(\alpha)\cap (\beta)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(a\).
Vì \(a\subset (\alpha)\) nên \((P)\bot (\alpha)\), \(a\subset (\beta)\) nên \((P)\bot(\beta)\) (Tính chất: mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với từng mặt phẳng)
Như vậy qua \(M\) có mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).
Điều kiện đủ: Mặt phẳng $(P)$ là duy nhất.
Nếu có \((P)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\) thì \((P)\bot a\). Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên \((P)\) duy nhất.
Nếu \((\alpha)//(\beta)\) thì: gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) khi đó ta có \(d\bot (\beta)\). Như vậy mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).
Do đó khi \((\alpha)//(\beta)\) thì có vô số mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).