Giải Câu 4 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Giải Câu 4 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc.

Điều kiện cần: Qua $M$ có một mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $(\alpha )$ và $(\beta )$

Gọi $a=(\alpha )\cap (\beta )$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $a$.

Vì $a\subset (\alpha )$ nên $(P)\mathrm{\perp }(\alpha )$, $a\subset (\beta )$ nên $(P)\mathrm{\perp }(\beta )$ (Tính chất: mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với từng mặt phẳng)

Như vậy qua $M$ có mặt phẳng $(P)$ vuông góc với  $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Điều kiện đủ: Mặt phẳng $(P)$ là duy nhất.

Nếu có $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với  $(\alpha )$ và $(\beta )$ thì $(P)\mathrm{\perp }a$. Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên $(P)$ duy nhất.

Nếu  $(\alpha )//(\beta )$ thì: gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$ khi đó ta có $d\mathrm{\perp }(\beta )$. Như vậy mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với  $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Do đó khi  $(\alpha )//(\beta )$ thì có vô số mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với  $(\alpha )$ và $(\beta )$.