Giải câu 3 trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Giải câu 3 trang 69 toán VNEN 9 tập 2.

a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

$\iff$ Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2=mx-1\iff x^2+mx-1=0$ (*)

$\mathrm{\Delta }=m^2-4\times 1\times (-1)=m^2+4\ge 0\mathrm{\forall }m$

Vậy với mọi giá trị của m thì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, hay d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_1;x_2$ lần lượt là hoành độ hai giao điểm của đường thẳng d với parabol P $\Rightarrow$ $x_1;x_2$ chính là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-m\\ x_1\times x_2=-1\end{array}$

Ta có: $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2-x_1{x}_2=x_1{x}_2(x_1+x_2)-x_1{x}_2=-1(-m)-(-1)=m+1$
Theo bài ra: $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2-x_1{x}_2=3$

$\Rightarrow m+1=3\iff m=2$