Giải câu 3 bài 4: Hai mặt phẳng song song

Giải câu 3 bài 4: Hai mặt phẳng song song.

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

a) Do ABCDA'B'C'D' là hình hộp chữ nhật, ta có:

A’B // D’C và D’C ⊂ (B’D’C) => A’B // (B’D’C) (1) 

BD // B’D’ và B’D’ ⊂ (B’D’C) => BD // (B’D’C) (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C). (đpcm)

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình bình bình hành ABCD => A’O ⊂ (A’ACC’).

Trong mặt phẳng (A’ACC’) hai đường thẳng A’O và AC’ cắt nhau tại điểm G₁, G₁ ∈ A’O và A’O ⊂ (BDA’)

=> G₁ ∈ (BDA’),G₁ ∈ AC’

Vậy G₁ ∈ AC’ ∩(BDA’)

Tứ giác ACC’A’ là hình bình hành, giao điểm I của hai đường chéo A’C và AC’ là trung điểm của mỗi đường.

Xét tam giác AA’C, các trung tuyến A’O và AI cắt nhau tại G₁. Vậy G₁ là trọng tâm của ∆AA’C cho ta OG₁/OA' = 1/3 , A’O cũng là trung tuyến của ∆BDA’ nên tỉ số OG₁/OA' = 1/3 chứng tỏ G1 là trọng tâm của tam giác BDA’.

Chứng minh tương tự đối với điểm G₂.

c) Vì G₁ là trọng tâm của ∆AA’C nên $\frac{AG_1}{AI} = \frac{2}{3}$.

Vì I là trung điểm của AC’ nên $AI = \frac{1}{2}AC'$

Từ các kết quả này, ta có : $AG_1 = \frac{1}{3}AC'$

Chứng minh tương tự ta có : $C'G_2 = \frac{1}{3}AC'$

Suy ra : AG₁ = GG₂ = G₂C’ = $\frac{1}{3}AC'$.

d) Thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp chính là hình bình hành AA’C’C.