Giải câu 2 trang 54 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải câu 2 trang 54 sách toán VNEN lớp 9 tập 2.

a) $Δ = [- (2 a - 1)]^{2} - 4 \times 1 \times (- 4 a - 3) = 4 a^{2} + 12 a + 13$

$= (2 a)^{2} + 2 \times 2 a \times 3 + 9 + 4 = (2 a + 3)^{2} + 4 \geq 0 \forall a$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

b) Gọi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Theo hệ thức Vi-et: ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 a - 1 \\ x_{1} \times x_{2} = - 4 a - 3 \end{matrix}$

${\begin{matrix} 2 (x_{1} + x_{2}) = 4 a - 2 \\ x_{1} \times x_{2} = - 4 a - 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow 2 (x_{1} + x_{2}) + x_{1} \times x_{2} = - 5$

c) $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 \times x_{1} \times x_{2}$

$= (2 a - 1)^{2} - 2 \times (- 4 a - 3) = 4 a^{2} + 4 a + 7 = (2 a + 1)^{2} + 6$

Ta có: $(2 a + 1)^{2} \geq 0 \forall a \Rightarrow (2 a + 1)^{2} + 6 \geq 6 \forall a$

Dấu "=" xảy ra khi $(2 a + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{- 1}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 khi $a = \frac{- 1}{2}$