Giải câu 2 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 2 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}=2\sqrt{x(x+3)}$

ĐKXĐ: $x\ge 2$

$\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}=2\sqrt{x(x+3)}$ <=> $\sqrt{x}.(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3})$ = 0

<=> $\sqrt{x}$ = 0 hoặc $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3}$ = 0

Với $\sqrt{x}$ = 0 => x = 0 (không thỏa mãn $x\ge 2$)=> loại

Với $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3}$ = 0 <=> $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x+3}$

<=> $x-1+2.\sqrt{(x-1)(x-2)}+x-2=4.(x+3)$ <=> $2\sqrt{(x-1)(x-2)}=2x+15$

<=> $4(x^2-3x+2)=4x^2+60x+225$ 

<=> -72x = 217 <=> x = $\frac{-217}{72}$ (không thỏa mãn điều kiện)

=> Phương trình vô nghiệm

b, $\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x$

ĐKXĐ: $x\ge \frac{1}{2}$

$\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x$

$\iff \sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=2x–x$

$\iff (\sqrt{2x+2}-2x)+(x-\sqrt{2x-1})=0$

$\iff \frac{(\sqrt{2x+2}-2x).(\sqrt{2x+2}+2x)}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{(x-\sqrt{2x-1})(x+\$\sqrt{2x-1})}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\iff \frac{2x+2-4x^2}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{x^2-2x+1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\iff \frac{(x-1)(-4x-2)}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{(x-1{)}^2}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\iff (x-1)(\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}})=0$

$\iff x-1=0$ hoặc $\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\iff x=1$ hoặc $\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2}+2x}+\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}}=0$

$\iff \frac{4x+2}{\sqrt{2x+2}+2x}=\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}}$

Với $x\ge \frac{1}{2}$ ta có: $4x+2>x-1$ và $\sqrt{2x+2}+2x>\sqrt{2x-1}+x$

$\Rightarrow$ phương trình $\frac{4x+2}{\sqrt{2x+2}+2x}=\frac{x-1}{x+\sqrt{2x-1}}$ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}

c, $\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}=x+4$

Nhân cả hai vế với $\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}$ ta có:

$(\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}).(\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1})$

= $(x+4)(\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1})$

<=> $2x^2+x+9-(2x^2-x+1)=(x+4)(\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1})$

<=> $2x+8=(x+4)(\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1})$

<=> $(x+4)(\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}-2)=0$

<=> x + 4 = 0 hoặc $\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}-2=0$

Với x + 4 = 0 => x = -4 (tm)

Với $\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}-2=0$ <=> $\sqrt{2x^2+x+9}=2+\sqrt{2x^2-x+1}$

<=> $2x^2+x+9=4+4.\sqrt{2x^2-x+1}+2x^2-x+1$

<=> $2x+4=4.\sqrt{2x^2-x+1}$ <=> $x+2=2.\sqrt{2x^2-x+1}$

<=> $(x+2{)}^2=4.(2x^2-x+1)$ <=> $7x^2-8x=0$ <=> x(7x - 8) = 0

<=> x = 0 hoặc x = $\frac{8}{7}$ (đều thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-4; 0; $\frac{8}{7}$}

d, $\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$

Đkxđ: $x\in R$

$\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$

$\iff (\sqrt{x^2+12}-4)=(3x-6)+(\sqrt{x^2+5}-3)$

$\iff \frac{x^2+12-16}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2+5-9}{\sqrt{x^2+5}+3}$

$\iff \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}-3(x-2)-\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}=0$

$\iff (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-3-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3})=0$

$\iff$ x = 2 hoặc $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3=0$

+) $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3=0$

Có $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}<\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$ với mọi $x\in R$

Nên $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3<0$ với mọi $x\in R$

Do đó $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3=0$ vô nghiệm với mọi $x\in R$

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}