Giải câu 2 trang 28 toán VNEN 9 tập 1.
a) Biến đổi vế trái ta có:
$\sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}}$ + $\sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2} - \sqrt{3}}$
= $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$
= $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$ + $\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$
= $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{1}$ + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{1}$ = 4
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Biến đổi vế trái ta có:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a - b}$
= $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$ - $\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$ - $\frac{2b}{a - b}$
= $\frac{a + \sqrt{ab}}{a - b}$ - $\frac{\sqrt{ab} - b}{a - b}$ - $\frac{2b}{a - b}$
= $\frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b - 2b}{a - b}$
= $\frac{a - b}{a - b}$ = 1
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Biến đổi vế trái ta có:
$\left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )$$\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )$
= $\frac{\sqrt{a} + 1 + a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$$\frac{\sqrt{a} - 1 - a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$
= $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1}$$\frac{- a + 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1}$
= $\frac{(\sqrt{a} + 1)^{2}}{\sqrt{a} + 1}$$\left ( - (\frac{\sqrt{a} - 1)^{2}}{\sqrt{a} - 1} \right )$
= - ($\sqrt{a}$ + 1).($\sqrt{a}$ - 1)
= - a + 1 = 1 - a
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.