Giải câu 2 trang 28 toán VNEN 9 tập 1

Giải câu 2 trang 28 toán VNEN 9 tập 1.

a) Biến đổi vế trái ta có:

$\sqrt{\frac{2}{-}\sqrt{3}}\frac{2}{+}\sqrt{3}$ + $\sqrt{\frac{2}{+}\sqrt{3}}\frac{2}{-}\sqrt{3}$ 

= $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ + $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

= $\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$ + $\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

= $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1}$ + $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1}$ = 4 

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a-b}$

= $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$ - $\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$ - $\frac{2b}{a-b}$ 

= $\frac{a+\sqrt{ab}}{a-b}$ - $\frac{\sqrt{ab}-b}{a-b}$ - $\frac{2b}{a-b}$ 

= $\frac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}$

= $\frac{a-b}{a-b}$ = 1

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c)  Biến đổi vế trái ta có:

$(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1})$$(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1})$

= $\frac{\sqrt{a}+1+a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$$\frac{\sqrt{a}-1-a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}$

= $\frac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}$$\frac{-a+2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1}$

= $\frac{(\sqrt{a}+1{)}^2}{\sqrt{a}+1}$$(-(\frac{\sqrt{a}-1{)}^2}{\sqrt{a}-1})$

= - ($\sqrt{a}$ + 1).($\sqrt{a}$ - 1)

= - a + 1 = 1 - a

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.