Giải câu 2 đề 5 ôn thi toán lớp 9 lên 10.
a. $(P) y = x^{2}$
Bảng giá trị
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $y = x^{2}$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Đồ thị (P) là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0,0) là đỉnh và điểm thấp nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
$x^{2} = (2m - 1)x - m + 2$
<=>$x^{2} - (2m - 1)x + m - 2 = 0$
δ = $(2m - 1)^{2} - 4(m - 2) = 4m^{2} - 8m + 10 = 4(m - 1)^{2} + 6 > 0 ∀m$
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lí Vi-et ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}= 2m - 1& & \\ x_{1}x_{2} = m - 2& & \end{matrix}\right.$
ta có: $y_{1} = (2m - 1) x_{1} - m + 2$
$y_{2} = (2m - 1) x_{2} - m + 2$
Khi đó:
$x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = x_{1} [(2m - 1)x_{1} - m + 2] + x_{2} [(2m - 1)x_{2} - m + 2]$
$=(2m - 1)(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ) + (2 - m)(x_{1} + x_{2} )$
$=(2m - 1)[(x_{1} + x_{2} )^{2}-2x_{1} x_{2} ] + (2 - m)(x_{1} + x_{2} )$
$=(2m - 1)[(2m-1)^{2} - 2(m - 2)] + (2 - m)(2m - 1)$
$=(2m - 1)^{3} - (2 - m)(2m - 1)$
$=(2m - 1)[(2m - 1)^{2} - (2 - m)]$
$=(2m - 1)(4m^{2} - 3m - 1)$
Theo bài ra: $x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = 0$
<=>$(2m - 1)(4m^{2} - 3m - 1) = 0$
$\left\{\begin{matrix}2m - 1 = 0& & \\ 4m^{2} - 3m - 1 = 0& & \end{matrix}\right.$
=> $m=\frac{1}{2}$, $m= 1$, $m= -\frac{1}{4}$