Giải Câu 2 Bài Ôn tập cuối năm

Giải Câu 2 Bài Ôn tập cuối năm.

a) Vì $G$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC$ nên ta có:

    $\begin{array}{rl}& \overrightarrow{G{A}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA};\\ & \overrightarrow{G{B}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB};\\ & \overrightarrow{G{C}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}\end{array}$.

    Vậy phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ biến $A,B,C$ thành $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$.

b) Vì: $A^{\prime }$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $O{A}^{\prime }\perp BC$ (trong đường tròn (O), đoạn nối tâm với trung điểm dây cung thì vuông góc với dây cung đó)

    Ta lại có $BC//C^{\prime }{B}^{\prime }$ (định lý Talet trong tam giác ABC)

    nên $O{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow$ Trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $O{A}^{\prime }$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A^{\prime }$.

    Tương tự, $O{B}^{\prime }$ là đường cao kẻ từ $B^{\prime }$, suy ra $O$ là trực tâm của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

    Lại có: $H$ là trực tâm của $∆ABC$ và $O$ là trực tâm của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là ảnh của $\mathrm{\Delta }ABC$ qua phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=\frac{-1}{2}$

    nên $O$ là ảnh của $H$ trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=-\frac{1}{2}$

    => $\overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$ 

     $\Rightarrow$ Ba điểm $O,G,H$ thẳng hàng

c) Gọi $O^{\prime }$ là ảnh của $O$ trong phép vị tự $V_{\left(G;-\frac{1}{2}\right)}$ ta có:

     $\begin{array}{rl}& \overrightarrow{G{O}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}\\ & \overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\to \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\\ & \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{G{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GO}\right)\\ & \Rightarrow \overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}\end{array}$ 

     Đẳng thức này chứng tỏ điểm $O^{\prime }$ là trung điểm của đoạn thẳng $OH$

     Vậy ảnh của $O$ qua phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ là $O^{\prime }$ trung điểm của $OH$.

d)

 

      Vì $A”,B”,C”$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AH,BH,CH$ 

    => $\begin{array}{rl}& \overrightarrow{H{A}^{″}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HA}\\ & \overrightarrow{H{B}^{″}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HB}\\ & \overrightarrow{H{C}^{″}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HC}\end{array}$ 

      Vậy $A”,B”,C”$ là ảnh của các điểm $A,B,C$ trong phép vị tự $V_{\left(H;\frac{1}{2}\right)}$ (1)

      Ta dễ dàng chứng minh được $A_1^{\prime },B_1^{\prime },C_1^{\prime }$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $H{A}_1,H{B}_1,H{C}_1$ nên:

   $\begin{array}{rl}& \overrightarrow{H{A_1}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{A}_1}\\ & \overrightarrow{H{B_1}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{B}_1}\\ & \overrightarrow{H{C_1}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{C}_1}\end{array}$ 

    Như vậy $A_1^{\prime },B_1^{\prime },C_1^{\prime }$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A_1,B_1,C_1$ trong phép vị tự $V_{\left(H;\frac{1}{2}\right)}$ (2)

    Từ (1) (2), ảnh của $A,B,C$, $A_1,B_1,C_1$ qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số $\frac{1}{2}$ lần lượt là $A”,B”,C”$,$A_1^{\prime },B_1^{\prime },C_1^{\prime }$

e) Gọi $A_2,B_2,C_2$ theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm $A,B,C$ qua tâm $O$ của đường tròn.

    Ta chứng minh được tứ giác $BHC{A}_2$ là hình bình hành, do đó $H$ và $A_2$ đối xứng qua $A^{\prime }$, ta có:

    $\begin{array}{rl}& \overrightarrow{H{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{A}_2}\\ & \overrightarrow{H{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{B}_2}\\ & \overrightarrow{H{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{H{C}_2}\end{array}$

    Như vậy, các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A_2,B_2,C_2$ trong phép vị tự $V_{\left(H;\frac{1}{2}\right)}$ (3)

     Từ (1), (2), (3) ta có:

     Chín điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },A”,B”,C”$, $A_1^{\prime },B_1^{\prime },C_1^{\prime }$ theo thứ tự là ảnh của các điểm $A,B,C,A_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ trong phép tự vị $V_{\left(H;\frac{1}{2}\right)}$ 

     mà chín điểm $A,B,C,A_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ nằm trên đường tròn $(O)$ nên chín điểm $A,B,C,A_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn $(O)$ trong phép vị tự $V_{\left(H;\frac{1}{2}\right)}$