Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách

Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách.

a) Chứng minh $A H, S K, B C$ đồng qui

Trong $(A B C)$ , gọi $E = A H \cap B C$ .

$H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ nên $A E ⊥ B C$ (1)

$S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B C ⊥ (S A E)$ $\Rightarrow B C ⊥ S E$ .

Vì $K$ là trực tâm của tam giác $S B C (g t) \Rightarrow S E$ đi qua $K$ $\Rightarrow A H, B C, S K$ đồng quy tại $E$ .

b) Chứng minh $S C ⊥ (B H K), H K ⊥ (S B C)$

Mà $A C$ là hình chiếu vuông góc của $S A$ lên $(A B C)$ (do $S A ⊥ (A B C) - g t$ )

=> $B H ⊥ S C$ (định lý ba đường vuông góc) (4)

Từ (3)(4) suy ra: $S C ⊥ (B H K)$ .

Vì: $B C ⊥ (S A E) - c m t, B C \subset (S B C) => (S A E) ⊥ (S B C)$ (6)

Từ (5) (6) và $(S A E) \cap (B H K) = H K$ => $H K ⊥ (S B C)$

c) Xác định đường vuông góc chung của $B C, S A$

Ta có: $A E ⊥ B C$ (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)

mặt khác: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ A E$

$\Rightarrow A E$ là đường vuông góc chung của $B C$ và $S A$ .