Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách.
a) Chứng minh $AH, SK, BC$ đồng qui
Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\(\Rightarrow BC ⊥ SE\).
Vì \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC(gt)\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Chứng minh $SC\perp (BHK), HK \perp (SBC)$
- Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $BH\perp AC$. (3)
Mà $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)
=> $BH\perp SC$ (định lý ba đường vuông góc) (4)
Từ (3)(4) suy ra: $SC \perp (BHK)$.
- Ta có: $SC \perp (BHK),SC\subset (SBC)$=>$(BHK)\perp (SBC)$ (5)
Vì: $BC\perp (SAE) - cmt,BC\subset (SBC)=>(SAE)\perp (SBC)$ (6)
Từ (5) (6) và $(SAE)\cap (BHK)=HK$ => $HK\perp (SBC)$
c) Xác định đường vuông góc chung của $BC,SA$
Ta có: \(AE\bot BC\) (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)
mặt khác: $SA \perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AE$
\(\Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).