Giải câu 10 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện

Giải câu 10 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện.

a) Gọi M là trung điểm của B'C'.

Do tam giác A'B'C' là tam giác đều nên $A^{\prime }M\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, hơn nữa ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ suy ra $A^{\prime }M\perp (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

Ta có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $S_{B{B}^{\prime }C}=\frac{1}{2}B{B}^{\prime }.BC=\frac{1}{2}{a}^2$.

$V_{A^{\prime }B{B}^{\prime }C}=\frac{1}{3}{A}^{\prime }M.S_{B{B}^{\prime }C}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét (GA'B') và (ABC) có 

$G\in (G{A}^{\prime }{B}^{\prime })\cap (ABC)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua G và song song với AB lần lượt cắt AC và AB tại E và F.

Hơn nữa $\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{CB}=\frac{2}{3}$.

Ta có $\frac{V_{C{B}^{\prime }{A}^{\prime }E}}{V_{C{B}^{\prime }{A}^{\prime }A}}=\frac{C{B}^{\prime }}{C{B}^{\prime }}.\frac{C{A}^{\prime }}{C{A}^{\prime }}.\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$

$\frac{V_{C{B}^{\prime }FE}}{C{B}^{\prime }BA}=\frac{C{B}^{\prime }}{C{B}^{\prime }}.\frac{CF}{CB}.\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

Gọi K là trung điểm của AB.

Hơn nữa $V_{C{B}^{\prime }A;E}=V_{C{B}^{\prime }FE}=\frac{1}{3}.CK.S_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

Vậy $V_{C{A}^{\prime }{B}^{\prime }FE}=V_{C{B}^{\prime }FE}+V_{C{B}^{\prime }{A}^{\prime }E}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{54}$

Cách 2: Thể tích hình chóp $C.A^{\prime }{B}^{\prime }FE$ bằng tổng thể tích hai hình chóp

• $V_1$ là thể tích hình chóp đỉnh B' đáy là tam giác CEF.
• $V_2$ là thể tích hình chóp đỉnh B', đáy là tam giác A'EC.