Giải Câu 10 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Giải Câu 10 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc.

a) $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$

=> tam giác ABC vuông tại B

=> $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

• Lại có $O$ là tâm hình vuông $ABCD(gt)$ nên $O$ là trung điểm của $AC$

=> $OA=\frac{1}{2}.AC=a.\frac{\sqrt{2}}{2}$

• Hình chóp tứ giác đều nên $SO\mathrm{\perp }(ABCD)$. Do đó $SO\mathrm{\perp }AC$

Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$: có $S{A}^2=O{A}^2+S{O}^2$ (định lý Pitago)

=> $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

b) $BD\mathrm{\perp }AC$ (tính chất hình vuông)   (1)

   Vì $SO\perp (ABCD),BD\subset (ABCD)=>SO\perp BD$  (2)

Từ (1)(2) và $AC\cap SO$ suy ra: $BD\mathrm{\perp }(SAC)$,

Mà $BD\subset (MBD)$ do đó $(MBD)\perp (SAC)(đpcm)$. 

c) $\mathrm{\Delta }SCD$ và $\mathrm{\Delta }SCB$ có:

          $SC$ chung

         $SD=SB(=a);CD=CB(=a)$

=> $\mathrm{\Delta }SCD\sim \mathrm{\Delta }SCB(c.c.c)$

=> $DM=BM$ (trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

suy ra $DM=BM$ suy ra tam giác $BDM$ cân tại $M$

=> $OM$ vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên $OM\mathrm{\perp }BD$

Ta có: 

$\begin{array}{c}(MBD)\cap (ABCD)=BD\hfill \\ OM\mathrm{\perp }BD\hfill \\ OC\mathrm{\perp }BD\hfill \end{array}\}$

$\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{MOC}$

Trong $\mathrm{\Delta }SOC$ vuông tại O có $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $SC$

suy ra: $OM=MC=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}$ hay Tam giác $OMC$ vuông cân tại $M$

suy ra: $(\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})={45}^0.$