Giải Câu 10 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc.
a) $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$
=> tam giác ABC vuông tại B
=> $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$
- Lại có $O$ là tâm hình vuông $ABCD(gt)$ nên $O$ là trung điểm của $AC$
=> $OA=\frac{1}{2}.AC=a.\frac{\sqrt{2}}{2}$
- Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)
Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\): có $SA^2=OA^2+SO^2$ (định lý Pitago)
=> \(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
b) \(BD\bot AC\) (tính chất hình vuông) (1)
Vì $SO\perp (ABCD), BD\subset (ABCD)=>SO\perp BD$ (2)
Từ (1)(2) và $AC \cap SO$ suy ra: \(BD \bot (SAC)\),
Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)(đpcm)\).
c) $\Delta SCD$ và $\Delta SCB$ có:
$SC$ chung
$SD=SB(=a);CD=CB(=a)$
=> $\Delta SCD\sim \Delta SCB(c.c.c)$
=> $DM=BM$ (trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)
suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)
=> \(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)
Ta có:
\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\} \)
$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)
Trong $\Delta SOC$ vuông tại O có $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $SC$
suy ra: \(OM=MC=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}\) hay Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)
suy ra: \((\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})=45^{0}.\)