Giải câu 1 trang 88 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 1 trang 88 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, BC = $\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{{12}^2+{10}^2}=\sqrt{244}$

AB.AC = AH.BC => AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = 7,68 cm

AB${}^2$ = BC.BH => BH = $\frac{A{B}^2}{BC}$ = 6,4 cm

tanB = $\frac{AC}{AB}$ = 1,2 => $\hat{B}={50}^0{11}^{\prime }$

tan$\widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}$ = 0,83 => $\widehat{BAH}={39}^0{48}^{\prime }$

b, i. cosC.sinB = $\frac{HC}{AC}$.$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{HC}{BC}$

sinC.cosB = $\frac{AB}{BC}$.$\frac{BH}{AB}$ = $\frac{BH}{BC}$

ii. BC = BH + HC = AB.cosB + AC.cosC

iii. tanB.sinB = $\frac{AH}{BH}$.$\frac{AH}{AB}$ = $\frac{A{H}^2}{AB.BH}$ = $\frac{HB.HC}{AB.HB}$ = $\frac{HC}{AB}$

iv. AH = AB.sinB = AC.sinC

S_ABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH = $\frac{1}{2}$.BC.AB.sinB = $\frac{1}{2}$.BC.AC.sinC.

v. BC${}^2$ = AB${}^2$ + AC${}^2$

AB + AC $\le \sqrt{2}$.BC <=> (AB + AC)${}^2$ $\le$ 2BC${}^2$

<=> AB${}^2$ + AC${}^2$ + 2AB.AC $\le$ 2(AB${}^2$ + AC${}^2$)

<=> AB${}^2$ + AC${}^2$ - 2.AB.AC $\ge$ 0

<=> (AB - AC)${}^2$ $\ge$ 0 (luôn đúng)

=> đpcm

vi. Kẻ CI là phân giác của góc C và I thuộc AH => $\widehat{ACI}=\widehat{HCI}=\frac{\widehat{AHC}}{2}$

+ Ta có: S_AHC = $\frac{1}{2}$.AH.HC

S_ACI = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$ 

S_HCI = $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$

Mà S_AHC = S_ACI + S_HCI 

=>  $\frac{1}{2}$.AH.HC = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$ + $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$

<=> AH.HC = CI.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

Mặt khác CI = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$

=> AH.HC = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

<=> AH = tan$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

<=> tan$\widehat{HCI}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$

<=> tan$\frac{\widehat{AHC}}{2}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$ (đpcm)

c, 

i. Xét tứ giác AEFH có: AE // HF (cùng vuông góc AC); AF //HE (cùng vuông góc với AB)

=> AEFH là hình bình hành

Hình bình hành AEFH có $\hat{A}={90}^0$ => AEFH là hình chữ nhật 

=> AH = EF

ii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH${}^2$ = AF.AC

Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao => AH${}^2$ = BH.HC

=> AH${}^2$ = AF.AC = BH.HC

Mà EF = AH => EF${}^2$ = AH${}^2$ = AF.AC = BH.HC

iii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH${}^2$ = AF.AC

Xét tam giác vuông AHB có HE là đường cao => AH${}^2$ = AE.AB

=> AF.AC = AE.AB => $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có :

• góc A chung
• $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

=> $\mathrm{\Delta }AEF\sim \mathrm{\Delta }ACB$

=> $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.

iv. Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến => AO = $\frac{1}{2}$BC = OB = OC

+ Tam giác OAB có: OA = OB => Tam giác OAB cân tại O

=> $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)

+ AEFH là hình chữ nhật => AH = EF.

+ Gọi I là giao điểm của AH và EF => IA = IH = IE = IF

+ Tam giác EIA có IA = IE => Tam giác EIA cân tại I 

=>  $\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ (2)

Mà $\widehat{OBA}+\widehat{IAE}={90}^0$ (3)

Từ (1), (2) và (3) => $\widehat{IEA}+\widehat{IAE}={90}^0$ hay AI $\perp$ EF

v. Ta có: $\widehat{TEH}+\widehat{HEF}={90}^0$

              $\widehat{THE}+\widehat{EHA}={90}^0$

Mà $\widehat{HEF}=\widehat{EHA}$ (vì AEFH là hình chữ nhật )

=>  $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$

=> Tam giác ETH cân tại T => ET = TH (1)

Ta có: $\widehat{EBT}+\widehat{THE}={90}^0$ (tam giác HEB vuông tại E)

          $\widehat{BET}+\widehat{TEH}={90}^0$ 

Mà $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$ (chứng minh ở trên)

=> $\widehat{EBT}=\widehat{EBT}$

=> Tam giác TEB cân tại T => ET = TB (1)

Từ (1) và (2) => TH = TB = $\frac{1}{2}$HB

Chứng minh tương tự ta có: SH = SC = $\frac{1}{2}$HC

vi. EFST là hình thanh vuông (vì ET $\perp$ EF và FS $\perp$ EF)

S_EFST = $\frac{(TE+FS).EF}{2}$ = $\frac{(\frac{1}{2}HB+\frac{1}{2}HC).EF}{2}$ = $\frac{\frac{1}{2}(HB+HC).EF}{2}$ = $\frac{1}{4}$.BC.EF = $\frac{1}{4}$.BC.AH

S_ABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH

=> S_EFST = $\frac{1}{2}$S_ABC

vii. 

+ AH${}^2$ = HB.HC (*)

+ Xét tam giác ABK vuông tại B và BH là đường cao

=> BH${}^2$ = AH.HK (3)

+ Xét tam giác ACG vuông tại  C có CH là đường cao:

=> CH${}^2$ = AH.HG (4)

=> Nhân vế với vế của (3) và (4) ta có:

BH${}^2$.CH${}^2$ = AH.HK.AH.HG = AH${}^2$.HK.HG

<=> BH${}^2$.CH${}^2$ = BH.CH.HK.HG (AH${}^2$ = HB.HC)

<=> BH.CH = HK.HG (**)

Từ (*) và (**) =>  AH${}^2$ = HB.HC = HK.HG

+ Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao => BH${}^2$ = BE.AB (5)

Từ (3) và (5) => BH${}^2$ = BE.AB = AH.HK