Giải câu 2 trang 89 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.
a, AI là phân giác trong của góc A => $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$
AD là phân giác ngoài của góc A => $\widehat{DAB}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$
+ $\widehat{DAI}=\widehat{DAB}+\widehat{BAI}=90^{0}$ => Tam giác DAI vuông ở A
+ Ta có: SABC = SAIC + SAIB
=> $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$.AI.AC.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$
<=> AB.AC = AI.sin$45^{0}$.(AC + AB)
<=> AI = $\frac{\sqrt{2}.AB.AC}{AB+AC}$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AI}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$
<=> $\frac{1}{AI}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$ (1)
+ SADI = SAIB + SABD
=> $\frac{1}{2}$AD.AI = $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AD.AB.sin$45^{0}$
<=> AD.AI = AI.AB.sin$45^{0}$ + AB. AD.sin$45^{0}$
<=> AD.AI = AB.sin$45^{0}$.(AI + AD)
<=> AB.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{AD.AI}{AI+AD}$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AI} $ (2)
Thay (1) vào (2) ta có:
$\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{1}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{AB}-\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{1}{AD}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}$
+) Tương tự AD là phân giác ngoài phía còn lại của góc BAC hay C nằm giữa B và D thì $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}$
=> $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$
=> Đpcm
b, J là điểm cố định thuộc tia phân giác của góc A => Chứng minh tương tự phần (1)a
=> $\frac{\sqrt{2}}{AJ}= \frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$
Vì J là cố định => AJ không đổi => $\frac{\sqrt{2}}{AJ}$ không đổi
=> $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi khi P, Q thay đổi.
c,