1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Hoạt động khám phá 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?
Hướng dẫn giải:
xy ⊥ AB tại trung điểm O.
Thực hành 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P và trên cạnh DC lấy các điểm M', N', P'. Cho biết AM = MN = NP= PB và MM', NN', PP' đều song song với BC ( Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB
Hướng dẫn giải:
- Có BC ⊥ AB
MM' // BC
=> MM' ⊥ AB hay MM' ⊥ AN
Tương tự ta có : NN' ⊥ AB , PP' ⊥ NB
- AM = MN=> M là trung điểm của AN. Mà M'M ⊥ AN
=> MM' là đường trung trực của AN
- NP = PB => P là trung điểm của NB. Mà PP' ⊥ NB
=> PP' là đường trung trực của NB
- AM = MN = NP= PB => AN= NB => N là trung điểm của AB
- NN' ⊥ AB. N là trung điểm của AB => NN' là đường trung trực của AB.
Vận dụng 1:
Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
Xét ∆APD và ∆CPD có :
AD = CD
DP chung
$\widehat{ADP}$ = $\widehat{CDP}$
=> ∆APD = ∆CPD (g.c.g)
=> $\widehat{APD}$ = $\widehat{CPD}$
mà $\widehat{APD}$ + $\widehat{CPD}$ = 180°
=> 2 $\widehat{APD}$ = 180°
=> $\widehat{APD}$ = 90°
=> DP ⊥ AP hay DP ⊥ AC
Mà P là trung điểm của AC
=> DP là đường trung trực của AC, hay DB là đường trung trực của AC.
2. Tính chất của đường trung trực
Hoạt động khám phá 2: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.
Hướng dẫn giải:
d là đường trung trực của AB tại điểm O => ∆MOA và ∆MOB là hai tam giác vuông tại O.
Xét ∆MOA và ∆MOB cùng vuông tại đỉnh O ta có:
MO chung
AO = OB ( O là trung điểm của AB)
=> ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông)
=> MA = MB.
Thực hành 2:
Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.
Hướng dẫn giải:
M thuộc đường thẳng d mà d là đường trung trực của AB
=> MA = MB
=> x + 2 = 7
<=> x = 7 - 2 = 5.
Vậy x = 5.
Vận dụng 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau
- Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$ AB ( Hình 9a).
- Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
- Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.
Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Hướng dẫn giải:
Ta có M thuộc 2 đường tròn tâm A và B
Mà bán kính đường tròn tâm A bằng với bán kính đường tròn tâm B
=> MA = MB
=> M cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng B
=> M thuộc đường trung trực của AB
Tương tự ta có NA = NB
=> N cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB
=> N thuộc đường trung trực của AB
=> MN là đường trung trực của AB.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 1 trang 70 toán 7 tập 2 CTST
Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B
Bài 2 trang 70 toán 7 tập 2 CTST
Quan sát hình 11, cho biết M là trung điểm BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.
Bài 3 trang 70 toán 7 tập 2 CTST
Quan sát hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.
Bài 4 trang 70 toán 7 tập 2 CTST
Quan sát hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
Bài 5 trang 70 toán 7 tập 2 CTST
Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF
Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.
Giải bài 6 trang 70 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo
Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B ( Hình 14 ). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.
