Giải bài 3 Ôn tập cuối năm

Giải bài 3 Ôn tập cuối năm.

a. $2\sin \frac{x}{2}{\cos }^{2}x-2\sin \frac{x}{2}{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$\iff 2\sin \frac{x}{2}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$\iff 2\sin \frac{x}{2}.cos2x=\cos 2x$

$\iff \cos 2x(2\sin \frac{x}{2}-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos 2x=0\hfill \\ \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \hfill \\ [\begin{array}{c}\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+k\pi \hfill \\ \frac{x}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}+k\pi \hfill \end{array}\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \hfill \\ x=\frac{5\pi }{3}+k2\pi \hfill \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b. $3cosx+4sinx=5$

$\iff \frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\sin x=1$

Đặt $cos\phi =\frac{3}{5};sin\phi =\frac{4}{5},(0<\phi <\frac{\pi }{2})$

Ta được:

$\cos x\cos \phi +\sin x\sin \phi =1$

$\iff \cos (x-\phi )=1$

$\iff x-\phi =k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\iff x=\phi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\phi +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

với $cos\phi =\frac{3}{5};sin\phi =\frac{4}{5},(0<\phi <\frac{\pi }{2})$

c. $sinx+cosx=1+sinx.cosx$

$\iff sinx–sinx.cosx+cosx–1=0$

$\iff sinx(1–cosx)–(1–cosx)=0$

$\iff (1-\cos x)(\sin x-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\mathrm{cosx}=1\hfill \\ sinx=1\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=k2\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \hfill \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d. Điều kiện $\sin x\ge 0$.

Khi đó:

$\sqrt{1-\cos x}=\sin x$

$\iff 1-\cos x={\sin }^{2}x$

$\iff 1-{\sin }^{2}x-\cos x=0$

$\iff {\cos }^{2}x-\cos x=0$

$\iff \cos x(cosx-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos x=0\hfill \\ \cos x=1\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \hfill \\ x=k2\pi \hfill \end{array};k\in \mathbb{Z}$

Vì $x\in [\pi ,3\pi ]$ và $sinx\ge 0$ nên ta chọn:

$k=2\Rightarrow x=\frac{5\pi }{2}$

$k=1\Rightarrow x=2\pi$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=\frac{5\pi }{2};x=2\pi$

e. $(cos\frac{x}{4}-3\sin x)sinx+(1+sin\frac{x}{4}-3\cos x)cosx=0$

$\iff cos\frac{x}{4}.sinx-3si{n}^{2}x+cosx+sin\frac{x}{4}.cosx-3co{s}^{2}x=0$

$\iff \sin x\cos \frac{x}{4}+\cos x\sin \frac{x}{4}+\cos x-3({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0$

$\iff \sin (x+\frac{x}{4})+\cos x-3=0$

$\iff \sin \frac{5x}{4}+\cos x=3$

Vì $\sin \frac{5x}{4}\le 1,cosx\le 1$ nên phương trình trên vô nghiệm.