Giải bài 3 Ôn tập cuối năm.
a. \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \)
\(\Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \)
\(\Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos\,2x = \cos \,2x \)
\(\Leftrightarrow \cos \,2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos\, 2x = 0 \hfill \cr \sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr \left[ \matrix{{x \over 2} = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr {x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x={\pi \over 4} + k\pi ; x={\pi \over 3} + k2\pi; x={{5\pi } \over 3} + k2\pi, k \in \mathbb Z\)
b. \(3\,cos\,x + 4\,sin\,x = 5 \)
\(\Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \)
Đặt $cos\,\varphi =\frac{3}{5}; sin\,\varphi =\frac{4}{5}, \left ( 0 < \varphi < {\pi \over 2} \right )$
Ta được:
\(\cos \,x\cos \,\varphi + \sin \,x\,\sin \,\varphi = 1\)
\(\Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \)
\(\Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi (k \in\mathbb Z) \)
\(\Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)\)
với $cos\,\varphi =\frac{3}{5}; sin\,\varphi =\frac{4}{5}, \left ( 0 < \varphi < {\pi \over 2} \right )$
c. \(sin\, x + cos\,x = 1 + sin\,x. cos\,x\)
\(⇔ sin\, x – sin \,x. cos\,x + cos\,x – 1= 0\)
\(⇔ sin \,x ( 1 – cos\,x) – (1 – cos\,x) = 0\)
\(\Leftrightarrow (1 - \cos \,x)(\sin \,x - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr sinx = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = k2\pi ; x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\)
d. Điều kiện \(\sin x ≥ 0\).
Khi đó:
\(\sqrt {1 - \cos\, x} = \sin \,x \)
\( \Leftrightarrow 1-\cos \,x = {\sin ^2}x \)
\(\Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos \,x = 0 \)
\(\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos \,x = 0 \)
\(\Leftrightarrow \cos \,x(cos\,x - 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos \,x = 0 \hfill \cr \cos\, x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \)
Vì \( x ∈ [π, 3π]\) và \(sinx ≥ 0\) nên ta chọn:
\(k = 2 \Rightarrow x = {{5\pi } \over 2} \)
\(k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là \(x = {{5\pi } \over 2};x = 2\pi \)
e. \((cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0 \)
\(\Leftrightarrow cos\frac{x}{4}.sin\,x-3\,sin^2x+cos\,x+sin\frac{x}{4}.cos\,x-3\,cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin \,x\cos {x \over 4} + \cos \,x\sin {x \over 4} + \cos \,x - 3({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \sin \left ( x + {x \over 4} \right )+ \cos\, x - 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \sin {{5x} \over 4} + \cos x = 3 \)
Vì \(\sin {{5x} \over 4} \le 1,cosx ≤ 1\) nên phương trình trên vô nghiệm.