Giải bài 26 Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. BIẾN CỐ

Hoạt động 1: Trở lại Ví dụ 1, xét hai biến cố sau:

A: "Học sinh được gọi là một bạn nữ"';

B: "Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ H".

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A, B.

Hướng dẫn giải:

a. Kết quả thuận lợi cho biến cố A: {Hương; Hồng; Dung}.

b. Kết quả thuận lợi cho biến cố B: {Hương; Hồng; Hoàng}.

Luyện tập 1: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Gọi D là biến cố: "ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải:

a. Không gian mẫu là tập hợp các phần thưởng trong chương trình khuyến mãi của siêu thị, $\Omega $ = {ti vi; bàn ghế; tủ lạnh; máy tính; bếp từ; bộ bát đĩa}

b. D là tập hợp gồm các phần tử: D = {ti vi; tủ lạnh; máy tính; bếp từ}.

Hoạt động 2: Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết, khi nào biến cố C: "Học sinh được gọi là một bạn nam" xảy ra?

Hướng dẫn giải:

Biến cố C xảy ra khi bạn được gọi là nam, tức là biến cố A không xảy ra.

Luyện tập 2: Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố".

a. Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" có là biến cố $\overline{K}$ không?

b. Biến cố K và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải:

a. Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" không là biến cố $\overline{K}$, vì nếu K không xảy ra, tức là số chấm không là số nguyên tố, thì số chấm của xúc xắc có thể là số 1 hoặc hợp số. (số 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số).

b. Ta có:

Biến cố $\overline{K}$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1 hoặc là một hợp số".

K = {2; 3; 5}

$\overline{K}$ = {1; 4; 6}.

2. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Hoạt động 3: Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a. Mô tả không gian mẫu $\Omega $. Các kết quả có thể có đồng khả năng không?

b. Xét biến cố E: "Rút được thẻ ghi số nguyên tố". Biến cố E là tập con nào của không gian mẫu?

c. Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố E có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố E.

Hướng dẫn giải:

a. Không gian mẫu $\Omega $ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

Các kết quả có thể đồng khả năng.

b. E = {2; 3; 5; 7; 11}

c. Phép thử có 12 kết quả có thể.

Biến cố E có 5 kết quả thuận lợi.

Xác suất của biến cố E là: $\frac{5}{12}$.

Câu hỏi: Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh các nhận xét trên.

Hướng dẫn giải:

• Nhận xét 1: Với mỗi biến cố E, ta có $0\leq P(E)\leq 1$ 

Vì E là tập con của không gian mẫu nên $n(E)\leq n(\Omega )$, suy ra $P(E)= \frac{n(E)}{n(\Omega )}\leq 1$

Do n(E) $\geq $ 0 nên $P(E)= \frac{n(E)}{n(\Omega )}\geq 0$.

Vậy $0\leq P(E)\leq 1$.

• Nhận xét 2: Với biến cố chắc chắn, ta có: $P(\Omega )=1$

Biến cố chắc chắn nên $P(\Omega )=\frac{n(\Omega)}{n(\Omega )}= 1$

Vậy $P(\Omega )=1$

• Nhận xét 3: Với biến cố không thể, ta có $P(\oslash )$ = 0.

Biến cố không thể xảy ra nên $n(\oslash )$ = 0, suy ra: $P(\oslash )=\frac{n(\oslash)}{n(\Omega )}=0$

Vậy $P(\oslash )$ = 0.

Luyện tập 3: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6.

Hướng dẫn giải:

• Vì mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện 1 trong 6 mặt, nên số khả năng có thể xảy ra khi gieo 2 xúc xăc là: $n(\Omega )=6^{2}=36$.
• Biến cố E: '"Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6".

Tổng số chấm bằng 4 gồm các kết quả: (1; 3), (3; 1), (2; 2).

Tổng số chấm bằng 6 gồm các kết quả: (1; 5), (5; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 3)

$\Rightarrow$ Biến cố E có 8 phần tử, hay n(E) = 8.

Vậy P(E) = $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

3. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Vận dụng: Xác suất của biến cố có ý nghĩa thực tế như sau:

Giả sử biến cố A có xác suất P(A). Khi thực hiện phép thử n lần (n $\geq 30$) thì số lần xuất hiện biến cố A sẽ xấp xỉ bằng n.P(A) (nói chung khi n càng lớn thì sai số tương đối càng bé).

Giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,512 và xác suất sinh con gái là 0,488 . Vận dụng ý nghĩa thực tế của xác suất, hãy ước tính trong số trẻ mới sinh với 10 000 bé gái thì có bao nhiêu bé trai.

Hướng dẫn. Gọi n là số trẻ mới sinh. Ta coi mỗi lần sinh là một phép thử và biến cố liên quan đến phép thử là biến cố: "Sinh con gái". Như vậy ta có n phép thử. Ước tính n, từ đó ước tính số bé trai.

Hướng dẫn giải:

Theo hướng dẫn: Gọi n là số trẻ mới sinh. 

• Biến cố A: "Sinh con gái". 

Với n phép thử, số lần xuất hiện biến cố A theo đề bài là 10 000 bé gái. Áp dụng công thức có: n.P(A) = 10 000

$\Rightarrow$ n $=100000:0,488\approx 20492$.

• Biến cố B: "Sinh con trai"

Với n = 20 492, số lần xuất hiện biến cố B là: n.P(B) = 20492. 0,512 $\approx 10492$.

Vậy có khoảng 10 492 bé trai.