Giải bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ

KHỞI ĐỘNG

Một kiện hàng được vận chuyển từ điểm A đến điểm B rồi lại được vận chuyển từ điểm B đến điểm C. Tìm vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: $\vec{AB}$ + $\vec{BC}$

Hướng dẫn giải:

Vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: $\vec{AB}$ + $\vec{BC}$ là vectơ $\vec{AC}$

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

Khám phá 1: Một rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diexn bởi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$. Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên.

Hướng dẫn giải:

Vectơ $\vec{AC}$

Khám phá 2: Cho hình bình hành ABCD (Hình 4). Chứng minh rằng $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ = $\vec{AC}$

Hướng dẫn giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{AB}$ = $\vec{DC}$

Ta có: $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ = $\vec{AD}$ + $\vec{DC}$ = $\vec{AC}$ (đpcm).

Thực hành 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và DC. Cho biết $\vec{a}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{CB}$; $\vec{b}$ = $\vec{DB}$ + $\vec{BC}$. Chứng minh hai vec tơ A, B cùng hướng.

Hướng dẫn giải:

Vì ABCD là hình thang có hai cạnh đấy AB và DC nên AB  DC $\Rightarrow$  $\vec{AB}$ cùng hướng với $\vec{DC}$.

Ta có: $\vec{a}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{CB}$ = $\vec{AB}$

          $\vec{b}$ = $\vec{DB}$ + $\vec{BC}$ = $\vec{DC}$

$\Rightarrow$ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (đpcm).

Thực hành 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tìm độ dài của vectơ $\vec{AB}$ + $\vec{AC}$

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC đều nên AC = AB = BC = a.

Ta có: $\vec{AB}$ + $\vec{AC}$ = $\vec{BC}$

$\Rightarrow$ |$\vec{}$| = BC = a.

Vận dụng 1: Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hương bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ tổng là: $\sqrt{150^{2} + 30^{2}} = 30\sqrt{26}$ (km/h)

Vận dụng 2: Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}}$ = $\vec{OA}$; $\vec{F_{2}}$ = $\vec{OB}$ có độ lớn lần lượt là 400N, 600N (Hình 8). Cho biết góc xen giữa hai vectơ là $60^{\circ}$. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai hợp lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

OC = $\sqrt{(F_{1})^{2} + (F_{2})^{2} - 2F_{1}F_{2}.cos120^{\circ}}$ 

     = $\sqrt{400^{2} + 600^{2} - 2. 400. 600.cos120^{\circ}} \approx$ 871,78 (N)

$\Rightarrow$ |$\vec{F}$| = |$\vec{OC}$| $\approx$ 871,78(N)

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ

Khám phá 2: Cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ được biểu diễn như Hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:

a. $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{BC}$ = ?

    $\vec{b}$ + $\vec{a}$ = $\vec{EA}$ + $\vec{EC}$ = ?

b. ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$ = ($\vec{AB}$ + $\vec{BC}$) + $\vec{CD}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{CD}$ = ?

    $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\vec{AB}$ + ($\vec{BC}$ + $\vec{CD}$) = $\vec{AB}$ + $\vec{BD}$ = ?

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{BC}$ = $\vec{AC}$

    $\vec{b}$ + $\vec{a}$ = $\vec{EA}$ + $\vec{EC}$ = $\vec{AC}$

b. ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$ = ($\vec{AB}$ + $\vec{BC}$) + $\vec{CD}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{CD}$ = $\vec{AD}$

    $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\vec{AB}$ + ($\vec{BC}$ + $\vec{CD}$) = $\vec{AB}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{AD}$

Nhận xét: Các kết quả bằng nhau.

Thực hành 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a. $\vec{a}$ = ($\vec{AC}$ + $\vec{BD}$) + $\vec{CB}$;

b. $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ + $\vec{BC}$ + $\vec{DA}$.

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{a}$ = ($\vec{AC}$ + $\vec{BD}$) + $\vec{CB}$ = ($\vec{AC}$ + $\vec{CB}$) + $\vec{BD}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{AD}$

Ta có: |$\vec{AD}$| = AD = 1 nên |$\vec{a}$| = 1

b. $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ + $\vec{BC}$ + $\vec{DA}$ = ($\vec{AB}$ + $\vec{BC}$) + ($\vec{AD}$ + $\vec{DA}$) = $\vec{AC}$ + $\vec{AA}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{0}$ = $\vec{AC}$

Ta có: |$\vec{AC}$| = AC = $\sqrt{2}$ nên |$\vec{a}$| = $\sqrt{2}$

3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Khám phá 3: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau $\vec{F}$ và $-\vec{F}$ (Hình 11).

Hướng dẫn giải:

$\vec{F}$ + $-\vec{F}$ = $\vec{0}$

Thực hành 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a. $\vec{a}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OD}$;

b. $\vec{b}$ = ($\vec{OC}$ - $\vec{OA}$) + ($\vec{DB}$ - $\vec{DC}$)

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{a}$ = $\vec{OB}$ - $\vec{OD}$ = $\vec{DB}$

b. $\vec{b}$ = ($\vec{OC}$ - $\vec{OA}$) + ($\vec{DB}$ - $\vec{DC}$) = $\vec{AC}$ + $\vec{CB}$ = $\vec{AB}$

4. TÍNH CHẤT VECTƠ CỦA TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẰNG VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Khám phá 4: 

a. Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết $\vec{MB}$ = $-\vec{MA}$ = $\vec{AM}$. Hoàn thành phép cộng vectơ sau: $\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ = $\vec{MA}$ + $\vec{AM}$ = $\vec{MM}$ = ?

b. Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ = $\vec{GD}$ và $\vec{GA}$ = $\vec{DG}$, hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

$\vec{GA}$ + $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ = $\vec{GA}$ + $\vec{GD}$ = $\vec{DG}$ + $\vec{GD}$ = $\vec{DD}$ = ?

 

Hướng dẫn giải:

a. $\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ = $\vec{MA}$ + $\vec{AM}$ = $\vec{MM}$ = $\vec{0}$

b. $\vec{GA}$ + $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ = $\vec{GA}$ + $\vec{GD}$ = $\vec{DG}$ + $\vec{GD}$ = $\vec{DD}$ = $\vec{0}$

Thực hành 5: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a. $\vec{MA}$ + $\vec{MD}$ + $\vec{MB}$ = $\vec{0}$;        b. $\vec{ND}$ + $\vec{NB}$ + $\vec{NC}$ = $\vec{0}$;         c. $\vec{PM}$ + $\vec{PN}$ = $\vec{0}$

Hướng dẫn giải:

a. M là trọng tâm của tam giác ABD;

b. N là trọng tâm của tam giác BCD;

c. P là trung điểm của MN.