Giải bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

KHỞI ĐỘNG

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ?  Có bao nhêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Hướng dẫn giải:

Việc chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ gồm 5 công đoạn

• CĐ1: Chọn cầu thủ thứ nhất là 1 trong 11 cầu thủ $\Rightarrow$ có 11 cách chọn
• CĐ2: Chọn cầu thủ thứ 2 là 1 trong 10 cầu thủ còn lại $\Rightarrow$ có 10 cách chọn
• CĐ3: Chọn cầu thủ thứ 3 là 1 trong 9 cầu thủ còn lại $\Rightarrow$ có 9 cách chọn
• CĐ4: Chọn cầu thủ thứ 4 là 1 trong 8 cầu thủ còn lại $\Rightarrow$ có 8 cách chọn.
• CĐ5: Chọn cầu thủ thứ 5 là 1 trong 7 cầu thủ còn lại $\Rightarrow$ có 7 cách chọn.

$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc nhân có: 11.10.9.8.7 =  55440 cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ.

Việc sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu gồm 5 công đoạn

• CĐ1: Vị trí 1 có 5 cách chọn
• CĐ2: Vị trí 2 có 4 cách chọn
• CĐ3: Vị trí 3 có 3 cách chọn
• CĐ4: Vị trí thứ 4 có 2 cách chọn
• CĐ5: Vị trí thứ 5 có 1 cách chọn

$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc nhân có: 5.4.3.2.1 = 120 cách sắp xếp 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ.

1. HOÁN VỊ

Khám phá 1. Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết mình về sản phẩm của mỗi đội.

a. Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b. Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không

Hướng dẫn giải:

a. Tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra là: A, B, C;  A, C, B; B, A, C ; B, C, A; C,A,B ; C, B, A.

b. Từ câu a) $\Rightarrow$ có tất cả 6 kết quả như vậy. Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, ta có cách sau:

Vì mỗi cách sắp xếp ba đội A, B, C theo thứ tự gọi là hoán vị của ba đội này $\Rightarrow$ Số hoán vị của ba đội bằng 3.2.1 = 6.

Thực hành 1. Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có vé ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách sắp xếp 6 thành viên vào 6 ghế ngồi cùng dãy theo thứ tự là một hoán vị của 6 thành viên. Do đó, số cách sắp xếp sáu thành viên vào 6 ghế ngồi là:

P₆= 6.5.4.3.2.1 =  720 (cách)

Vận dụng 1: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Hướng dẫn giải:

Mỗi thứ hạng của 14 đội bóng là một hoán vị của 14 đội bóng. Do đó, số khả năng  thức hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc là:

P₁₄= 14! (cách) 

2. CHỈNH HỢP

Khám phá 2. Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng. (Hình 4)

a. Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo bốn tín hiệu khác nhau.

b. Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Hướng dẫn giải:

a. Bốn cách chọn và cắm cờ để báo 4 tín hiệu khác nhau là:

Đỏ, xanh, vàng; đỏ, cam, vàng; trắng, vàng, đỏ; xanh, vàng, cam.

b. Chọn 3 lá cờ từ 5 lá cờ và sắp xếp chúng theo thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ. Số các chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ => số các chỉnh hợp này bằng: 5.4.3 = 60.

Vậy có thể báo nhiều nhất 60 tín hiệu khác nhau.

Thực hành 2. Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau.

a. Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b. Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải:

a. Chọn 3 chữ số trong 7 chữ số đã cho sao cho 3 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7. Do đó, có thể lập được: 

$A_{7}^{3}=7.6.5.4=840$ số có ba chữ số đôi một khác nhau.

b.

• Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ. Có 4 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)
• Chọn 2 trong 6 chữ số còn lại tạo thành hàng chục và hàng đơn vị sao cho đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 2 của 6 => có  $A_{6}^{2}=6.5.=840$

$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc nhân ta có: 4.30= 120 số lẻ.

3. TỔ HỢP

Khám phá 3. Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè. 

a. Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b. Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c. Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Hướng dẫn giải:

a. Tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách là:

{A; B; C} hoặc {A; B: D} hoặc {A; C; D) hoặc (B; C; D). 

Vậy có tất cả 4 cách.

b. Cách sắp xếp thứ tự đọc trong 3 cuốn đã chọn là một hoán vị của 3 cuốn đó => Có: P₃ =3! = 6 cách xếp chúng theo thứ tự.

c. Mỗi cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử A, B, C, D => Có $A_{4}^{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=24$ cách.

Thực hành 3. Tính 

a. $C_{7}^{2}$

b. $C_{9}^{0}+C_{9}^{9}$

c. $C_{15}^{3}-C_{14}^{3}$

Hướng dẫn giải:

a. $C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!.5!}=\frac{7.6.5!}{2!.5!}=\frac{42}{2}=21$

b. $C_{9}^{0}+C_{9}^{9}=\frac{9!}{0!.(9-0)!}+\frac{9!}{9!.(9-9)!}=1+1=2$

c. $C_{15}^{3}-C_{14}^{3}=\frac{15!}{3!.(15-3)!}-\frac{14!}{3!.(14-3)!}$ 

$=\frac{15.14.13.12!}{3!.12!}-\frac{14.13.12.11!}{3!.11!}$

$=\frac{15.14.13-14.13.12}{3!}=\frac{14.13.3}{6}=91$ 

Thực hành 4. Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a. Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b. Sau giải đấu ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường?

Hướng dẫn giải:

a. Mỗi cách chọn 2 đội trong 7 đội tham gia thi đấu là một tổ hợp chập 2 của 7 đội. Do đó, nội dung này có tất cả số trận đấu là: 

$C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!.5!}=\frac{7.6.5!}{2!.5!}=\frac{42}{2}=21$ (cách)

b. Kết quả 3 đội có thành tích tốt nhất trong 7 đội tham gia thi đấu là một tổ hợp chập 3 của 7 đội. Do đó số khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là:

$C_{7}^{3}=\frac{7!}{3!.4!}=\frac{7.6.5.4!}{6.4!}=35 (cách)

Vận dụng 2. Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Hướng dẫn giải:

a. Cách chọn 2 điểm trong 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 2 của 6 điểm. Do đó, số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho là:

$C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!.4!}=\frac{6.5.4!}{2!.4!}=\frac{6.5}{2!}=15$ (cách)

b. Cách chọn 3 điểm trong 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 6 điểm. Do  đó, số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:

$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!.3!}=\frac{6.5.4.3!}{6.3!}=20 (cách) 

4. TÍNH SỐ CÁC HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Thực hành 5. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a. $A_{15}^{10}$ 

b. $C_{10}^{6}+C_{10}^{7}+C_{11}^{8}$

c. $C_{5}^{1}C_{20}^{2}+C_{5}^{2}C_{20}^{1}$

Hướng dẫn giải:

a.

b.

c.