Giải bài 17 Ôn tập cuối năm

Giải bài 17 Ôn tập cuối năm.

a. $y^{\prime }=-\frac{(co{s}^{2}3x{)}^{\prime }}{{\cos }^{4}3x}=-\frac{2\cos 3x(cos3x{)}^{\prime }}{{\cos }^{4}3x}=\frac{6\cos 3x\sin 3x}{{\cos }^{4}3x}=\frac{6\sin 3x}{{\cos }^{3}3x}$

b. $y^{\prime }={\left(\frac{\cos \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)}^{\prime }$

$=\frac{(cos\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }\sqrt{x^2+1}-(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }cos\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}$

$=\frac{-sin\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }\sqrt{x^2+1}-(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }cos\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}$

$=\frac{-sin\sqrt{x^2+1}.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cos \sqrt{x^2+1}}{x^2+1}$

$=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.(-\sqrt{x^2+1}.sin\sqrt{x^2+1}-cos\sqrt{x^2+1})}{x^2+1}$

$=\frac{-x(\sqrt{x^2+1}\sin \sqrt{x^2+1}+\cos \sqrt{x^2+1})}{{(\sqrt{x^2+1})}^3}$

c. $y^{\prime }={((2-x^2)cosx+2x.sinx)}^{\prime }$     

$=(2–x^2{)}^{\prime }cosx+(2–x^2)(cosx{)}^{\prime }+(2x{)}^{\prime }sinx+2x(sinx{)}^{\prime }$

$=-2xcosx–(2–x^2)sinx+2sinx+2xcosx=x^{2}sinx$

d) $y=\frac{\sin x-x.cosx}{\cos x+x.\sin x}$

Đặt $u=\sin x-x\cos x;v=\cos x+x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}$

Ta có: 

$u^{\prime }=\cos x-(cosx-xsinx)=x\sin x$

$v^{\prime }=-\sin x+(\sin x+x\cos x)=x\cos x$

$\Rightarrow y^{\prime }=\frac{x\mathrm{sinx}(cosx+xsinx)-x\cos x(\sin x-x\cos x)}{{(cosx+x\sin x)}^2}$

$=\frac{x.sinxcosx+x^{2}si{n}^{2}x-x.cosxsinx+x^{2}co{s}^{2}x}{(cosx+xsinx{)}^2}$

$=\frac{x^2.(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x)}{{(cosx+xsinx)}^2}=\frac{x^2}{{(cosx+xsinx)}^2}$